Calcul d’intégrale

[Sara1999]

Bonjour,
Je n’ai pas pu calculer cette intégrale :
L’intégrale de x(1+nx)^(1/n)dx.
Avec un changement de variable et une intégration par parties je me suis ramenée à l’intégrale de (t^n-1)^(2/n) dt mais pas plus.
Merci de me donner une piste de résolution.

[Black Jack]

Bonjour,

Résolution détaillée.

Si tu ne veux qu'une piste, contente-toi de lire les 2 premières lignes qui permettent de poser l'IPP.

Poser (1+nx)^(1/n) dx = dv -----> v = [(1+nx)^(1/n + 1)]/(n+1)
et poser x = u --> dv = du

S x.(1 + n.x)^(1/n) dx = [x.(1+nx)^(1/n + 1)]/(n+1) - 1/(n+1) * S (1 + nx)^(1/n + 1) dx

S x.(1 + n.x)^(1/n) dx = [x.(1+nx)^(1/n + 1)]/(n+1) - 1/(n+1) * (1 + nx)^(1/n + 2))/(2n+1)

S x.(1 + n.x)^(1/n) dx = 1/(n+1) * [x.(1+nx)^(1/n) * (1+nx) - (1 + nx)^(1/n) * (1 + nx)² /(2n+1)]

S x.(1 + n.x)^(1/n) dx = ((1+nx)^(1/n)) /(n+1) * [x * (1+nx) - (1 + nx)² /(2n+1)]

S x.(1 + n.x)^(1/n) dx = ((1+nx)^(1/n)) /((n+1)(2n+1)) * [x * (1+nx)*(2n+1) - (1 + nx)²]

S x.(1 + n.x)^(1/n) dx = ((1+nx)^(1/n)) /((n+1)(2n+1)) * [2nx+x+2n²x²+nx² - (1 + n²x²+2nx)]

S x.(1 + n.x)^(1/n) dx = ((1+nx)^(1/n)) /((n+1)(2n+1)) * (x+n²x²+nx² - 1 )

S x.(1 + n.x)^(1/n) dx = ((1+nx)^(1/n)) /((n+1)(2n+1)) * (n.x²(n+1) + x - 1)

[Sara1999]

Désolée, mais je viens de m’apercevoir que j’ai mal écrit l’intégrale: c’est plutôt S x(1+nx^n)^(1/n), c’est pour cette raison quel’IPP ne m’ a pas permis d’avancer.

[Black Jack]

Désolée, mais je viens de m’apercevoir que j’ai mal écrit l’intégrale: c’est plutôt S x(1+nx^n)^(1/n), c’est pour cette raison quel’IPP ne m’ a pas permis d’avancer.

Bonjour,

On ne peut pas, je pense, exprimer une primitive de cette fonction par un nombre fini de fonctions élémentaires.

On devrait avoir recours à une fonction spéciale hypergéométrique.