Calcul d'intégrale

[Fndv]

Bonjour,

J'ai l'intégrale suivante à calculer:

avec .

J'ai quelques pistes avec la fonction hypergéométrique mais je ne suis pas convaincu de ce que j'ai pu trouver jusque là.
Des idées sur le calcul ou l'impossibilité de calcul explicite de cette intégrale?

Merci d'avance!

[Ben314]

Des idées sur le calcul ou l'impossibilité de calcul explicite de cette intégrale?

Comme toujours, tout dépend de ce que tu appelle "explicite"...
En général, cela signifie d'arriver à exprimer la solution à l'aide de fractions rationelles, de racines n-ièmes et de certaines fonctions trancendantes considérées comme "usuelles" (le plus fréquent est le log, exp., fonction trigo et leurs inverses).
Mais la liste des "fonction trancendentes usuelles" est évidement discutable : accepte t'on la fonction gamma ?, la fonction zeta ? les fonctions éliptiques ? les fonctions hypergéométriques ?
Souvent on ne les accepte pas alors que le calcul (approximatif et en utilisant uniquement les 4 opérations et les racines n-ièmes) de gamma(0.7) n'est pas franchement plus compliqué que celui de ln(0.7) donc...

Si tu accepte comme fonction "usuelles" un peu tout et n'importe quoi, alors tu peut toujours écrire que et que... c'est la définition de la fonction K...

[Robic]

Je n'ai aucune idée de comment on peut faire, mais je viens d'essayer deux ou trois choses (qui ne donnent rien). Car parfois, même si on ne sait pas faire, on peut y arriver à force d'essais...

Est-ce que cette question est liée au chapitre sur la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles et leurs applications ? Je me suis dit que la difficulté était de décomposer la fraction. J'ai supposé dans un premier temps que a et b sont entiers (est-ce le cas ?). L'idée est trouver une formule qui va se dessiner en faisant des essais avec a et b petits (1, 2, 3...) J'en ai trouvé une pour b=1 et a quelconque, puis (par changement de variable) pour a=1 et b quelconque (*), mais j'ai laissé tomber la recherche du cas a=b (dont j'espérais qu'elle serait l'avant-dernière étape) qui se complique terriblement (mais je persiste à espérer que les coefficients soient simples parce que pour a=b=2 ils valent 1 et 2 comme par hasard). Il faut sûrement être plus astucieux que moi...

Si on trouve (je ne sais pas comment (**)) une formule de décomposition en éléments simples pour a et b entiers quelconques (>1), on pourra alors intégrer les éléments simples (c'est la partie facile). Je ne serais pas étonné que le résultat soit alors valable aussi pour a,b réels quelconques, un peu comme pour la formule de la dérivée de x^n (formule valable si n est un réel quelconque). Il suffirait de dériver le résultat final pour le constater.

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(*) Pour info et en espérant qu'il n'y ait pas eu trop d'erreurs de calcul (je suis confiant pour la première) :



(**) Si j'avais le temps, je calculerais les décompositions en éléments simples pour diverses petites valeurs de a et b et j'essaierais de voir s'il n'y a pas une formule qui se dessine. Si oui, il faudrait l'écrire, vérifier qu'elle est compatible avec les exemples trouvés, puis la démontrer en partant de la fin : partir de la formule, supposer qu'on met tout au même dénominateur et calculer le numérateur. Si on trouve 1, c'est gagné.

[Ben314]

Pour la décomposition en éléments simples (lorsque a et b sont entiers), c'est pas super compliqué :
Tu cherche deux polynômes P et Q de degrés respectifs <a et <b tels que c'est à dire .
On a donc
Et, comme , on en déduit que
De même (avec )
Et, comme , on en déduit que .

La décomposition cherchée est donc :

[Robic]

Wahou, c'est astucieux, ça !

Le problème auquel je n'avais pas pensé, c'est que dans la décomposition en éléments simples on aura des fractions en A/x et en B/(x+1), qui ne sont pas intégrables à l'infini (alors que la fraction complète l'est, puisque a>1 et b>1). J'imagine qu'il y a des choses qui vont se simplifier... Par exemple si c'est 1/x et -1/(x+1), leur somme fait 1/x(x+1) qui est intégrable en l'infini.

D'ailleurs si on multiplie la fraction par x et qu'on passe à la limite en l'infini, on voit immédiatement que les coefficients A et B de x et de (x+1) vérifient A+B = 0. Donc ça va marcher : on aura A/x -A/(x+1) qui vaut A/x(x+1) qui est intégrable en l'infini (ça fait A.ln(1+1/c) si je ne me suis pas trompé). Ouf !