Calcul de l'intégrale de sin x / x

[Jerem5]

Bonjour, voila mon probleme. Je dois calculer l'intégrale de sin x / x entre 0 et +infini, rien de bien compliqué. Mais en utilisant ce lemme, et voila où mes ennuis commencent :hein: :

Soit f de C dans C qui possède un pole simple isolé en a. Soit un arc de cercle centré en a et de rayon r, partant d'un angle alpha pour arriver a l'angle beta. On note gamma le chemin aussi défini.

Alors lim quand r-> 0 de l'intégrale de f(z) dz sur gamma = i (beta-alpha) * lim quand z->a de (z-a)*f(z).

Voila je ne comprend pas le lien. Pouvez vous m'indiquer une piste ?

[Ericovitchi]

Avec le théorème des résidus.
Inspires toi de http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_Dirichlet

[Jerem5]

Merci ! Je vais regarder ça.

[Jerem5]

Bon j'ai lu et j'ai réussi a comprendre a peu près. Je suis sur qu'il faut faire comme ça mais malheureusement je n'ai pas encore tout vu (la méthode, la formule des résidus) . J'essayerais de comprendre mieux plus tard.

Merci encore

[Pythales]

On peut démontrer la formule sans utiliser las résidus.
Démarche :
Poser avec fini non nul

Utilise la continuité en de pour montrer que la 1ère intégrale est nulle, et pose soit pour calculer la seconde, et tu obtiens ta formule.
C'est pratiquement une question de cours.