[Licence] calcul diff

[Anonyme]

Bonjour

Soit F un e.v.n. et f : IR --> F
une application différentiable sur IR.

On considère l'application g : E --> L(R,F)
g(x) = { y --> y * f(x) }

Comment exprimer la différentielle de g ?

Merci,
Pierre

[Anonyme]

On Mon, 21 Jun 2004 15:28:29 +0100, Pierre Capdevila wrote:
>Bonjour
>
>Soit F un e.v.n. et f : IR --> F
>une application différentiable sur IR.
>
>On considère l'application g : E --> L(R,F)
>g(x) = { y --> y * f(x) }
>
>Comment exprimer la différentielle de g ?

En partant de la définition. Tout d'abord, il te faut une norme
sur L(R, F).

On doit avoir :
g(x+h) = g(x) + dg(x)(h) + o(h)
g(x+h) - g(x) = { y -> y * f(x+h) - y * f(x) }
donc g(x+h) - g(x) = { y -> y * df(x)(h) + y o(h) }

En prenant la norme |k| = |k(1)| on s'aperçoit que
|y -> y o(h)| = |o(h)| (de façon un peu « physicienne »).

Après quelques justification que je saute, on en déduit :

La différentielle de g au point x, appliquée à h, est :
dg_x(h) = { y -> y*df(x)(h) }

--
Frédéric

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de
news:cb6nl7$172$1@news.mgn.net...
> Bonjour
>
> Soit F un e.v.n. et f : IR --> F
> une application différentiable sur IR.
>
> On considère l'application g : E --> L(R,F)
> g(x) = { y --> y * f(x) }
>
> Comment exprimer la différentielle de g ?
>
> Merci,
> Pierre
>
>

Si quelqu'un a compris ce qu'il fallait faire qu'il le dise, parce que
personnellement je ne vois pas ce qu'il faut faire :

g est de E dans L(R,F) donc x est dans E, mais il y a f(x) donc x est dans
IR ??

Donc si ça se trouve c'est :
f : E -> F différentiable
g : E -> L(IR, F), g(x) = (y->y*f(x))

dans ce cas l'application phi : L(IR,F) -> F, h -> h(1), est un isomorphisme
qui préserve la norme
et on a tout simplement
g = phi^(-1) o f, donc dg(x) = d[phi^(-1)](f(x)) o df(x) = phi^(-1) o df(x)
dg(x) : E -> L(E, L(IR, F)) est v -> (y -> y*df(x)(v))

[Anonyme]

Pardon j'ai fait une erreur de frappe :

Soit F un e.v.n. et f : IR --> F
une application différentiable sur IR.

On considère l'application g : IR --> L( IR, F )
g(x) = { y --> y * f(x) }

Comment exprimer la différentielle de g ?

Merci,
Pierre

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de
news:cb6p5k$1ns$1@news.mgn.net...
> Pardon j'ai fait une erreur de frappe :
>
> Soit F un e.v.n. et f : IR --> F
> une application différentiable sur IR.
>
> On considère l'application g : IR --> L( IR, F )
> g(x) = { y --> y * f(x) }
>
> Comment exprimer la différentielle de g ?
>
> Merci,
> Pierre
>
>

Je suis d'accord qu'on peut parler de différentielle, mais la plupart des
gens appellent ça une dérivée, non ?

et dans ce cas, la définition : lim(h->0) g(x+h)-g(x) / h convient et donne
le résultat

[Anonyme]

On Mon, 21 Jun 2004 16:12:28 +0200, Rémy Oudompheng wrote:
>
>"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de
>news:cb6p5k$1ns$1@news.mgn.net...[color=green]
>> Pardon j'ai fait une erreur de frappe :
>>
>> Soit F un e.v.n. et f : IR --> F
>> une application différentiable sur IR.
>>
>> On considère l'application g : IR --> L( IR, F )
>> g(x) = { y --> y * f(x) }
>>
>> Comment exprimer la différentielle de g ?
>>
>> Merci,
>> Pierre
>>
>>
>
>Je suis d'accord qu'on peut parler de différentielle, mais la plupart des
>gens appellent ça une dérivée, non ?
>
>et dans ce cas, la définition : lim(h->0) g(x+h)-g(x) / h convient et donne
>le résultat[/color]

Pas tout à fait... Comme dirait Caml, faute de type.
Ce serait plutôt

t -> t * dg/dx

À part ça, je suis d'accord. Mais de toutes façons, il faudra faire
le calcul que j'ai fait (ou ta version) pour avoir une expresion
sympathique.

--
Frédéric

[Anonyme]

Je vous remercie pour vos réponses.

En reprenant le résultat de Frédéric, la différentielle
de g au point x, appliquée à h, est :
dg(x)(h) = { y -> y*df(x)(h) }

Ou encore
dg(x)(h,y) = y*h*f '(x) (*)

Si maintenant on remplace f par f ' alors g devient :
g : R --> L(R,F) , g(x) = { y --> y*f '(x) }

C'est à dire g = df

Et la relation (*) donne :
d²f(x)(h,y) = y*h*f ''(x)

C'était ça l'objectif de ma question.

Mais j'ai du mal à mettre en place une récurence
sur ce principe pour montrer que :
d_kf(x)(h_1, ..., h_k) = h_1* ...*h_k*f_k(x)

(excusez les notations : d_kf(x) est la diff d'ordre k de f
au point x et f_k(x) est la dérivée kième de f au point x).

C'est faisable ?

Pierre

[Anonyme]

On Tue, 22 Jun 2004 09:18:50 +0100, Pierre Capdevila wrote:
>Je vous remercie pour vos réponses.
>
>En reprenant le résultat de Frédéric, la différentielle
>de g au point x, appliquée à h, est :
>dg(x)(h) = { y -> y*df(x)(h) }
>
>Ou encore
>dg(x)(h,y) = y*h*f '(x) (*)
>
>Si maintenant on remplace f par f ' alors g devient :
>g : R --> L(R,F) , g(x) = { y --> y*f '(x) }
>
>C'est à dire g = df
>
>Et la relation (*) donne :
>d²f(x)(h,y) = y*h*f ''(x)
>
>C'était ça l'objectif de ma question.
>
>Mais j'ai du mal à mettre en place une récurence
>sur ce principe pour montrer que :
>d_kf(x)(h_1, ..., h_k) = h_1* ...*h_k*f_k(x)
>
>(excusez les notations : d_kf(x) est la diff d'ordre k de f
>au point x et f_k(x) est la dérivée kième de f au point x).
>
>C'est faisable ?

Oui ; le gros problème avec les différentielles, c'et qu'il faut avoir
l'esprit très clair sur qui est quoi, qui est une fonction de quel
ensemble dans quel ensemble. (Et ce n'est pas facile d'avoir les idées
claires, au début. Ça vient petit à petit...)
Sinon, ça marche exactement pareil qu'au rang 1.

Va pour la récurrence.
C'est montré aux rangs 1 et 2. Supposons prouvé que
d_kf(x)(h_1, ..., h_k) = h_1 ... h_k f'k(x).
Soit g l'application de k+1 variables d_kf. Comme ces notations
sont embêtantes, on la voit comme une fonction de R x R^k dans F.
Soit x dans R, et V un vecteur de dim. k. Soit h dans IR.
Alors :

d_k(x+h) - d_k(x) est l'application de R^k dans F,
h_1,..,h_k -> h_1...h_k [ f'k(x + h) - f'k(x) ]

On réapplique le même petit calcul pour dériver un coup de plus.
C'est donc h_1,...,h_k -> h * h_1...h_k f'(k+1)(x), plus
un petit o de ce qu'il faut.

Comme tout ce beau monde permute dans le produit de termes qui précède
le terme f'(k+1), on peut tout remettre dans le bon ordre ; et on a bien
obtenu notre différentielle au rang suivant.

--
Frédéric