Licence : projet calcul formel

[Anonyme]

J'ai à rédiger un projet en calcul formel dont l'énoncé commence comme
ceci :

Soit E l'espace vectoriel de E sur Q défini par E=Q[racine cubique de 5]
1. Quelle est la dimension de E sur Q ? Donner une base B.
2. Calculer la matrice M de la multiplication par (racine cubique de 5) dans
la base B
etc

Pour commencer sur de bonnes bases est ce que j'ai raison de considérer
l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans Q d'inconnue X =
(racine cubique de 5) ?
Dans ce cas je pense que la base cherchée peut être : (1;racine carrée de 5
; racine cubique de 5)
Qu'en pensez-vous?

Par contre pour la question 2 je n'arrive pas à saisir ce que l'on veut
exactement.

D'avance merci.

[Anonyme]

> Pour commencer sur de bonnes bases est ce que j'ai raison de considérer
> l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans Q d'inconnue X =
> (racine cubique de 5) ?
> Dans ce cas je pense que la base cherchée peut être : (1;racine carrée de
> 5 ; racine cubique de 5)
> Qu'en pensez-vous?

C'est faux: la racine carré de 5 n'est pas dans cet espace. On a juste des
puissances de la racine cubique.

> Par contre pour la question 2 je n'arrive pas à saisir ce que l'on veut
> exactement.

La multiplication par racine cubique de 5 est un endomorphisme du Q-espace
vectoriel E, dont on a une base B. On demande juste la matrice de cet
endomorphisme dans cette base.

--
Mû

[Anonyme]

thierry.grosse a écrit:
> J'ai à rédiger un projet en calcul formel dont l'énoncé commence comme
> ceci :
>
> Soit E l'espace vectoriel de E sur Q défini par E=Q[racine cubique de 5]
> 1. Quelle est la dimension de E sur Q ? Donner une base B.

qu'est ce que E ? c'est l'ensemble des nombres qui s'écrivent a +
b*racine_cubique(5) avec a et b dans Q. Donc....

> 2. Calculer la matrice M de la multiplication par (racine cubique de 5) dans
> la base B
> etc
>
> Pour commencer sur de bonnes bases est ce que j'ai raison de considérer
> l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans Q d'inconnue X =
> (racine cubique de 5) ?
Non : ce n'est pas juste.

> Dans ce cas je pense que la base cherchée peut être : (1;racine carrée de 5
> ; racine cubique de 5)
> Qu'en pensez-vous?
que sqrt(5) N'EST PAS de la forme ci-dessus (si cela était, en calculant
5 comme le carré de ce nombre A + B racine_cubique(5), on arrive à une
contradiction... Laquelle ?

>
> Par contre pour la question 2 je n'arrive pas à saisir ce que l'on veut
> exactement.

Voir le post de Mu.

[Anonyme]

Paul Delannoy , dans le message (fr.education.entraide.maths:60690), a
écrit :
> thierry.grosse a écrit:
[color=green]
>> Soit E l'espace vectoriel de E sur Q défini par E=Q[racine cubique de 5]
>> 1. Quelle est la dimension de E sur Q ? Donner une base B.
>
> qu'est ce que E ? c'est l'ensemble des nombres qui s'écrivent a +
> b*racine_cubique(5) avec a et b dans Q. Donc....[/color]

Non.
[color=green]
>> 2. Calculer la matrice M de la multiplication par (racine cubique de 5) dans
>> la base B
>> etc[/color]
[color=green]
>> Pour commencer sur de bonnes bases est ce que j'ai raison de considérer
>> l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans Q d'inconnue X =
>> (racine cubique de 5) ?
> Non : ce n'est pas juste.[/color]

Plus précisément, ça ne veut rien dire. Dans un polynôme P(X), X s'appelle
une indéterminée, ce n'est une inconnue. Une inconnue, c'est dans une
équation P(x)=a, par exemple.

Mais ce n'est pas forcément une mauvaise idée de considérer l'espace
vectoriel
{ P( 5^{1/3} ), P dans Q[X] }.

--
Yves

[Anonyme]

J'ai écris une réponse au sein de ton texte.


thierry.grosse a écrit :
> J'ai à rédiger un projet en calcul formel dont l'énoncé commence comme
> ceci :
>
> Soit E l'espace vectoriel de E sur Q défini par E=Q[racine cubique de 5]
> 1. Quelle est la dimension de E sur Q ? Donner une base B.
> 2. Calculer la matrice M de la multiplication par (racine cubique de 5) dans
> la base B
> etc
>
> Pour commencer sur de bonnes bases est ce que j'ai raison de considérer
> l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans Q d'inconnue X =
> (racine cubique de 5) ?
> Dans ce cas je pense que la base cherchée peut être : (1;racine carrée de 5
> ; racine cubique de 5)
> Qu'en pensez-vous?

Non une base recherchée est (1; (racine cubique de 5) au carré ; racine
cubique 5)
>
> Par contre pour la question 2 je n'arrive pas à saisir ce que l'on veut
> exactement.
>
Soit M = [M1,M2,M3] M1,M2, et M3 sont des vecteurs colonnes.
La multiplication de M par racine cubique de 5 dans B donne : [M2,M3,M1].

Voilà, c'est tout.

[Anonyme]

"soutiens maths" a écrit dans le message de news:
41e6bab4$0$31551$626a14ce@news.free.fr...
> J'ai écris une réponse au sein de ton texte.
>
>
> thierry.grosse a écrit :[color=green]
>> J'ai à rédiger un projet en calcul formel dont l'énoncé commence comme
>> ceci :
>>
>> Soit E l'espace vectoriel de E sur Q défini par E=Q[racine cubique de 5]
>> 1. Quelle est la dimension de E sur Q ? Donner une base B.
>> 2. Calculer la matrice M de la multiplication par (racine cubique de 5)
>> dans la base B
>> etc
>>
>> Pour commencer sur de bonnes bases est ce que j'ai raison de considérer
>> l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans Q d'inconnue X =
>> (racine cubique de 5) ?
>> Dans ce cas je pense que la base cherchée peut être : (1;racine carrée de
>> 5 ; racine cubique de 5)
>> Qu'en pensez-vous?
>
> Non une base recherchée est (1; (racine cubique de 5) au carré ; racine
> cubique 5)
>>
>> Par contre pour la question 2 je n'arrive pas à saisir ce que l'on veut
>> exactement.
>>
> Soit M = [M1,M2,M3] M1,M2, et M3 sont des vecteurs colonnes.
> La multiplication de M par racine cubique de 5 dans B donne : [M2,M3,M1].
>[/color]

Ne serait-ce pas plutôt la matrice de l'endomorphisme qui à un élément P de
Q[racine cubique de 5]
associe (racine cubique de 5) * P ?
> Voilà, c'est tout.