[licence] Calcul diff

[Anonyme]

Bonjour

Soient E_1, ... E_k, F des e.v.n. et soit
f : E_1 x ... x E_k ---> F
une application k-linéaire continue
Montrer que f est indéfiniment différentiable en tout point
de E_1 x ... x E_k.

C'est une question de cours toute bête mais je sèche
dessus depuis plusieurs jours car je voudrais la montrer
de manière rigoureuse.

Je suppose que cela se démontre par récurrence mais je
n'arrive pas à mettre en place la récurrence.

Je ne demande pas une démonstration ici car faire du
calcul diff avec un jeu de caractères ASCII serait un tour
de force. Mais si vous aviez juste une idée ...

Merci, Pierre

[Anonyme]

Bonsoir

> Soient E_1, ... E_k, F des e.v.n. et soit
> f : E_1 x ... x E_k ---> F
> une application k-linéaire continue
> Montrer que f est indéfiniment différentiable en tout point
> de E_1 x ... x E_k.

Tu prends u = (a1,...,ak) et h = (h1,...,hk) dans le produit, alors par
k-linéarité:
f(u+h) = f(u) + sum(f((a1,...,a_(i-1),h_i,a_(i+1),...,a_k)), i=1..k) +
h*o(h) (le o(h) tu le chopes par continuité de ton application f).
Bon la somme est clairement continue, linéaire par rapport à h ... tout est
cool, tu as la différentielle de f, qui de surcroît est linéaire. Sa diff
est donc constante, blabla, et finalement D^(n)(f) = 0 pour tout n>=3

bye
--
Julien Santini.

[Anonyme]

> f(u+h) = f(u) + sum(f((a1,...,a_(i-1),h_i,a_(i+1),...,a_k)), i=1..k) +
> h*o(h) (le o(h) tu le chopes par continuité de ton application f).

Il faut lire o(h) et non h*o(h) ...

[Anonyme]

Je me suis mal exprimé, je voulais dire " montrer que
f est indéfiniment différentiable sur E_1 x ... x E_k "

Pierre

[Anonyme]

> Je me suis mal exprimé, je voulais dire " montrer que
> f est indéfiniment différentiable sur E_1 x ... x E_k "
>

C'est-y pas ce que je viens de montrer ? Sinon que veux-tu dire par
indéfiniment différentiable ... là j'ai prouvé que f est C^(oo) et que sa
différentielle est nulle à partir de la dérivée troisième ...

[Anonyme]

Julien Santini
> C'est-y pas ce que je viens de montrer ? Sinon que veux-tu dire par
> indéfiniment différentiable ... là j'ai prouvé que f est C^(oo) et que sa
> différentielle est nulle à partir de la dérivée troisième ...

Ce que tu as montré est la chose suivante :

Pour simplifier je pose E = E_1 x ... x E_k. Donc f est une
application de E dans F (oublions sa k-linéarité).

La différentielle de f en un point X de E est (par définition)
une application linéaire continue de E dans F.

Donc sa différentielle en un point Y de E, qui est aussi une
application linéaire continue de E dans F est une constante.

Donc sa différentielle en un point Z de E, qui est encore une
application linéaire continue de E dans F est nulle.
______________

Mais ce n'est pas cela qu'on appelle la différentielle d'ordre k
d'une fonction.

Par exemple la différentielle de f (sans préciser en un point)
est l'application (généralement ni linéaire ni continue) définie
dans un ouvert U de E et à valeurs dans l'ensemble des
applications linéaires continues de E dans F qui à tout X de
U associe la différentielle de f au point X.

Par exemple, la différentielle de f : R ---> R , f(x) = x³ est définie
sur R tout entier et est :
df : R ---> Lc(R, R) tq df(x) = [t --> 3 t x²]

On voit que df n'est pas une application linéaire.

J'ai noté Lc(R,R) l'ensemble des applications linéaires continues
de R dans R, et df(x) se note généralement df_x.

La différentielle seconde de f est la différentielle de f, qui sauf
erreur de ma part est :
d²f = d(df) : R ---> Lc(R, Lc(R, R)) tq d²f(x) = [r --> (t --> 6 r t x)]
(on note que cette fois d²f est une application linéaire continue)

Comme il y a un isomorphisme canonique entre Lc(R, Lc(R, R))
et Lc2(R x R, R) (ensemble des formes bilinéaires continues),
on peut aussi écrire :

d²f : R ---> Lc2(R x R , R)) tq d²f(x) = [(r,t) --> 6 r t x]

Voilà.

Pierre

[Anonyme]

> Mais ce n'est pas cela qu'on appelle la différentielle d'ordre k
> d'une fonction.
>
> Par exemple la différentielle de f (sans préciser en un point)
> est l'application (généralement ni linéaire ni continue) définie
> dans un ouvert U de E et à valeurs dans l'ensemble des
> applications linéaires continues de E dans F qui à tout X de
> U associe la différentielle de f au point X.
>

Oui, je suis allé un peu trop vite ... la conclusion de mon post aurait dû
être: donc f est différentiable, sa différentielle est k-1 linéaire (et non
pas linéaire comme je l'ai dit, cela correspond au cas de dimension 2), et
par induction f est C^(oo) avec D^(n)(f) = 0 pour n>=k+1.

voili...

@+

[Anonyme]

Julien Santini a écrit

> Oui, je suis allé un peu trop vite ... la conclusion de mon post aurait dû
> être: donc f est différentiable, sa différentielle est k-1 linéaire (et
non
> pas linéaire comme je l'ai dit, cela correspond au cas de dimension 2), et
> par induction f est C^(oo) avec D^(n)(f) = 0 pour n>=k+1.

Oui mais on ne peut pas vraiment dire que df est k-1 linéaire.
C'est pour cela que je n'arrive pas à construire proprement une
récurrence.

En fait df est une somme d'applications de E_1 x ... x E_k dans
Lc(E_1 x ... x E_k , F). On peut écrire :

df = u_1 + u_2 + ... + u_k

Chaque application u_i est de la forme v_i º w_i
où v_i est l'injection canonique de
E_1 x ... x E_k dans E_1 x ... x E_i-1 x E_i+1 x ... x E_k
et w_i est une application k-1 linéaire de
E_1 x ... x E_i-1 x E_i+1 x ... x E_k dans F

Ouf, les notations sont inhumaines.

Dans ces conditions on ne peut pas amorcer de récurrence,
ou alors je m'y prend mal ...

Pierre

[Anonyme]

> Oui mais on ne peut pas vraiment dire que df est k-1 linéaire.

df est une somme de k-1 fonctions qui sont constantes par rapport à une
variable et (k-1)-linéaires par rapport aux autres. Cela te permet de
faire tourner ta récurrence.

[Anonyme]

> df est une somme de k-1 fonctions qui sont constantes par rapport à une
> variable et (k-1)-linéaires par rapport aux autres. Cela te permet de
> faire tourner ta récurrence.

La voilà la justification propre (gT encore allé trop vite). Tiens au
passage si on a montré (cor. du th. de la moy.) que f C^oo ses
composantes le sont alors on peut montrer le résultat directement.

@+

[Anonyme]

Julien Santini [...] si on a montré (cor. du th. de la moy.) que
> f C^oo ses composantes le sont
> alors on peut montrer le résultat directement.[/color]

On parle de composantes quand l'espace d'arrivée
est un espace produit. Or ici c'est l'ensemble de
départ qui est un espace produit. On peut parler
d'applications partielles, mais le théorème que tu
cites est faux dans ce cas (on trouve facilement des
contre exemples). D'ailleurs j'ignorais qu'on l'appelait
le théorème de la moyenne ?

Pierre

[Anonyme]

Yves De Cornulier a écrit
> df est une somme de k-1 fonctions qui sont constantes
> par rapport à une variable et (k-1)-linéaires par rapport
> aux autres. Cela te permet de faire tourner ta récurrence.

Tu as raison. Plus exactement, je pense que je dois montrer
la proposition P(n) suivante (que je dois vérifier) :
_________________

Soit deux entiers k F
s'écrit comme "somme fonctions constantes par rapport à
n variables et (k-n)-linéaires par rapport aux n autres
Alors f est différentiable et
df : E_1 x ... x E_k ---> Lc( E_1 x ... x E_k , F)
s'écrit comme somme fonctions constantes par rapport à
n+1 variables et (k-n-1)-linéaires par rapport aux n-1 autres
_________________


Cela montre par récurrence que si
f : E_1 x ... x E_k ---> F
est k-linéaire alors elles indéfiniment différentiable.

Merci de ton aide.

Pierre

[Anonyme]

> > [...] si on a montré (cor. du th. de la moy.) que[color=green]
> > f C^oo ses composantes le sont
> > alors on peut montrer le résultat directement.
>
> On parle de composantes quand l'espace d'arrivée
> est un espace produit. Or ici c'est l'ensemble de
> départ qui est un espace produit. On peut parler
> d'applications partielles, mais le théorème que tu
> cites est faux dans ce cas (on trouve facilement des
> contre exemples). D'ailleurs j'ignorais qu'on l'appelait
> le théorème de la moyenne ?[/color]

Je vais d'imprécisions en imprécisions décidemment ... c'est les dérivées
partielles existent et le sont.
Les dérivées partielles de f existent et sont continues => f est C^(1). Les
dérivées partielles de f existent et sont C^(oo) => f est C^(oo). (Ca ne
marche pas si on suppose seulement existence des dérivées partielles, ie ça
n'implique pas que f différentiable).

[Anonyme]

> Les dérivées partielles de f existent et sont continues => f est C^(1).

D'ailleurs l'hypothèse peut s'affaiblir en "les dérivées partielles de f
existent et toutes sauf une sont continues"