Calcul de x^(1/2) avec les suites

[platon]

Bonjour,
j'ai un exercice pour calculer la racine d'un nombre quelconque.
Pouvez vous m'aider svp.
:briques:

[platon]

Pouvez vous me dire s'il vus plaît si ce que j'ai fait pour le a) est bon ,
et m'aider pour finir le b) et le c). Merci beaucoup

[Mikou]

lim Xn = 1 donc Lim = 1/(1+1) =1/2

[platon]

je ne vois pas comment je peux montrer que lim X(n) = 1 .
Peut on faire : Xo>1 , X(n+1) = ( X(n))^(1/2), ?
Quand n tend vers l'infini, X(n) tend vers 1. ?

[kazeriahm]

si j'etais toi pour le cas x(o)>1 je passerai par une etude de la fonction
x->racine(x)-x-1/2 (issue de l'inegalite que tu veux prouver) et je pense quil te faut montrer quelle est negative sur ]1,+infini[

[Mikou]

je ne vois pas comment je peux montrer que lim X(n) = 1 .
Peut on faire : Xo>1 , X(n+1) = ( X(n))^(1/2), ?
Quand n tend vers l'infini, X(n) tend vers 1. ?

Deux cas :
- U0 Xn strictement croissante et majorée par 1 => convergence vers L ( = 1)
-U0 >1 => Xn strictement decroissante et minorée par 1=> convergence vers L' (=1)

et eventuellement U0 = 1, trivial.

Deplus je te conseil de revoir ta recurrence, elle me semble bien mal menée

[platon]

merci beaucoup Mikou et Kazeriahm pour vos réponses amicales .

J'ai re-vérifié ma récurrence, je tombe toujours sur le meme raisonnement, à savoir sur ce que j'ai mis sur la page ci-dessus. Je ne vois pas trop ou je puisse avoir une erreur fatale .

à plus :)

[Mikou]

Je suis en term jai essayer avec les outils classiques ca ne donne rien,une , tu peux montrer que pour tout x reel strictement positif tu as , et c'est fini car pour tout n ds IN Xn >= 0 :happy3:

[yos]

Le titre de l'exo est sans rapport avec l'exo.
La suite est monotone car est croissante. Le sens de variation de la suite dépend de l'ordre de x0 et x1.
Ainsi, si x0<1, la suite est croissante, et sinon elle décroît.
Dans le premier cas elle est majorée par 1, dans le second cas minorée par 1.
Dans tous les cas elle converge. Sa limite L vérifie , donc L=0 ou 1 mais vu le sens de variation, c'est pas 0.

[platon]

Merci Yos et Mikou, :)
oui il me semble aussi que le titre de l'exo est un peu ambigu,
mais ces démonstrations on été faites pour donner un point de départ pour calculer la racine n'iéme d'un nombre quelconque.

Pour Xo <1 , X(n+1) = (X(n))^(1/2), est ce que montrer que
| X(n+1) -1 | < (1/2) * |(X(n) -1 | est équivalent à montrer que

(-X(n+1) + 1 ) > -(1/2) * (X(n) + 1 ) ?

Car | X(n+1) -1 | < 0 ainsi que (1/2) * |(X(n) -1 | <0 pour Xo <1
Merci de votre confirmation amicale :)