Ok Aviateur je mets l'énoncé complet. J'ai demandé sur un autre forum de l'aide mais personne n'a réussi à trouver la réponse. Ça fait une journée que je suis dessus ma tête va exploser.
Je suis dans une démonstration pour montrer le théorème suivant mais je pense qu'il y a une petite erreur :
Théorème : Soit un intervalle. La bijection réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur I est continue sur .
On a démontré juste avant (pas de souci pour cette démo) que :
la bijection réciproque de tout fonction continue sur et strictement monotone sur est strictement monotone sur et de même sens de variation que .Supposons que
est strictement croissante sur
. Fixons
Soit
Nous devons montrer que
est continue soit :
Notons :
Premier cas : Dans ce cas,
Notons :
Ainsi :
Pas compris comment on peut passer à la croissante de f car on sait pas si
et
sont des éléments de
!
Il faudrait peut être prendre :
? C'est une proposition de ma part...
Notons
et
Comment on a-t-on le droit d'écrire :
? On ne sait pas si
appartient à l'ensemble de définition de
...
Ainsi :
On a obtenu :
On sait que :
et
sont dans
Comme f est continue sur
alors
est un intervalle et donc :
Si on pose :
on obtient :
Ainsi on a :
C'est-à-dire :
2ème cas : est une borne de
. (le cas où
est la borne supérieure de
s'adapte facilement). Notons que comme
est strictement croissante sur
,
est la borne inférieure de
.
Dans ce cas :
Je pense que c'est la caractérisation de la borne inférieure et au lieu du pour tout alpha strictement positif on met "il existe" car on veut rester dans
.
Notons
ainsi :
Idem je prendrais
La suite de la démo est analogue au 1er cas donc si je comprends le premier cas je comprendrai celui-ci.