Borne inférieure d'un ensemble

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un exercice, mais sur lequel je suis finalement bloqué depuis longtemps. (Je donne l'énoncé)

Pour tout entier naturel non nul , on pose :

1) Montrer que admet une borne inférieure, égale à

2) Montrer que .

Je n'ai pas réussi la 1), j'ai juste montré que cet ensemble est non vide et minoré (par 0 par exemple), donc admet une borne inférieure dans R.

En revanche pour la 2), je me suis intéressé à la fonction définie par :
, avec un entier naturel non nul

J'ai remarqué (à l'aide d'un tableau de variation) que cette fonction admet un minimum égal à atteint en , et donc je conclus qu'on a le résultat demandé à la 2). (j'espère que c'est une réponse recevable...)


Est-ce que quelqu'un peut m'aider pour la 1) svp ? Je suis vraiment bloqué.

Je vous remercie d’avance pour vos réponses

[Doraki]

Dans la 1) il faut juste montrer que si k > n, il existe un k' dans {0..n} tel que k+n/k >= k' + n/k'.
Au vu de ce que tu as fait pour la 2, k' = n devrait convenir, donc il suffit de montrer que pour tout k > n, k+n/k >= n+n/n.

[jonses]

Merci beaucoup !