Bon à partir de l'equation d'un plan

[Kiwiks]

Bonjour,

Comment fait-on pour trouver une b.o.n à partir de l'équation d'un plan?
Un exo demande de projeter le vecteur (1,1,0) sur le plan x+y=z mais je ne comprends pas comment on a trouvé la bon de x+y=z...

Merci mille fois !

[Ben314]

Salut,
Ta projection, c'est une projection orthogonale ou un projection suivant un axe quelconque non parallèle au plan ?
Bon, de toute façon, je vois pas vraiment le rapport entre chercher une base (orthonormée ou pas) du plan et chercher le projeté d'un point...

Pour trouver le projeté d'un point , tu écrit l'équation (paramétrique si possible) de la droite passant par le point et parallèle à la direction de projection et tu cherche l'intersection de cette droite avec ton plan.

Enfin, si ton problème est de savoir comment trouver UNE base orthonormée d'un plan (il est évident qu'il y en a des tas...), tu prend un vecteur au pif du plan, tu le divise par sa norme et ça te fait un premier vecteur unitaire.
Tu regarde ensuite le plan orthogonal à ce vecteur et tu pioche un vecteur dans l'intersection de cet orthogonal et de ton plan de départ.
Tu divise ce nouveau vecteur par sa norme et Hop, c'est fini.

[fatal_error]

salut,

un peu dans le même style, tu pioches un vecteur v1 au pif dans le plan. Un deuxieme vecteur v2 au pif (mais pas colinéaire au premier) dans le plan.

Et l'idée, c'est d'enlever la composante du vecteur v2 qui vaut pas 0 quand il est projeté sur v1.

typiquement, tu prends v'2 = v2 - v1
puis tu normes v'2 bien sur...(supposes v1 normé)

bon vu que chu pas sur j'argumente un peu
v'2xv1 = (v2-v1)xv1 = v2xv1
x représente le produit vectoriel
Donc v'2 est bien dans le plan, vu que la normale est la même que v2xv1

[Kiwiks]

J'ai bof compris mais merci !!

En fait je dois faire une projection orthogonale, c'est pour ça qu'il me faut une bon. L'exo ressemble à l'exercice 1 de cette feuille mais ils utilisent le vecteur normal et je ne comprends pas :mur:

[Kiwiks]

C'est bizarre parce ce qu'ils considèrent (dans la correction) que le plan orthogonal au plan x+y+z=0 n'a qu'un seul vecteur comme bon et ils projettent dessus avant de revenir au plan original en faisant p+q=Id ? mais comment sait on que ce plan est de dimension 1 ?!

[fatal_error]

ca yest j'ai compris lol.

Ben en fait, il suffit que t'enleves la composante du vecteur qui est orthogonale au plan. du coup ce qu'il te reste ca sera compris dans le plan.

Tu choppes le vecteur normal au plan n=v2xv1 dans mon exemple, et tu projettes ton vecteur sur ce vecteur normal. La 'quantité' que t'obtiens, c'est la composante qu'on veut virer pour qu'il soit compris dans le plan.

si ton vecteur c'est v, alors t'obtiens v', vecteur projeté dans le plan par :
v' = v - n

enfin, je pense :-)

[fatal_error]

C'est bizarre parce ce qu'ils considèrent (dans la correction) que le plan orthogonal au plan x+y+z=0

l'orthogonal d'un plan c'est une droite pour R3 non?

[Kiwiks]

D'accord ça j'ai bien compris merci !

l'orthogonal d'un plan c'est une droite pour R3 non?

Olala ça je ne le savais pas ! je pensais que c'était un plan ! ca doit être pour ça qu'on choisit de projeter orthogonalement sur lui plutot que sur x+y+z=0 !

[Ben314]

J'ai pas bien compris si ton plan c'était x+y=z ou bien x+y+z=0...
Si par exemble ton plan c'est x+y=z, c'est à dire x+y-z=0 alors, tu peut écrire que l'équation est 1.x+1.y+(-1).z=0 qui dit que le vecteur (x,y,z) doit être orthogonal au vecteur (1,1,-1).
Ca signifie en particulier que l'orthogonal de ton plan, c'est uniquement la droite engendrée par (1,1,-1).
Ca signifie aussi que, étant donné un point M:(a,b,c), la droite perpendiculaire au plan passant par M:(a,b,c) a pour équation paramétrique :
x=a+t
y=b+t avec t dans R
z=c-t
Le projeté de M sur le plan a donc des coordonnées de ce type et ces coordonnées doivent vérifier x+y-z=0 vu qu'il est aussi dans le plan.
Cela conduit à résoudre l'équation archi compliquée (d'inconnue t) :
(a+t)+(b+t)-(c-t)=0...