Détermination d'un plan à partir de points

[timoch]

Bonjour,

J'ai besoin de déterminer les paramètres du plan le plus proche d'un ensemble de points dans l'espace.

le plan : ax + by + cz + d = 0
les i points : (xi, yi, zi)

Je pense qu'il est nécessaire de faire une régression multiple mais mes connaissances en statistiques sont assez limitées

Merci de votre aide

Julien

[zorg]

On pourrait s'inspirer de ce qui se passe dans le plan pour la droite ed régression linéaire.

Chercher un plan qui passe exactement par n points (x_i,y_i,z_i) consiste à résoudre un système linéaire de n équations à 4 inconnues (les a,b,c,d) disons AX=B. Evidemment,en général, un tel point n'existe pas - à moins que tous les points soient précisément dans un même plan.

Donc ce que l'on va faire, c'est de chercher la meilleure solution approchée c'est-à-dire un X_0 de R^4 tel que ||AX_0-B||^2 soit minimal où ||.|| désigne la norme usuelle d'un vecteur de R^4.

Un résultat sur les espaces euclidiens nous dit que ||AX_0-B||^2 est minimum si et seulement si AX_0-B est orthogonal à Im(A) (l'image de l'application linéaire associée à A). (C'est une histoire de distance minimum à un sous-espace vectoriel réalisée par le projeté orthogona).

On en déduit alors un système d'équations à résoudre.

Je pense qu'en cherchant sur internet les mots clés droite de régression linéaire, euclidien, minimum, orthogonal on doit avoir les détails de la manip.

[serge75]

On peut essayer de s'y prendre de la façon suivante :
Je modifie trés légèrement ton énoncé en supposant que l'équation du plan cherché est z=ax+by+c (ce qui exclue de la recherche les plans verticaux)
Tu cherches à minimiser .
Je me place alors dans R^n, muni du produit scalaire usuel. J'introduis les vecteurs X=(x_1,..,x_n), Y et Z de la même manière, ainsi que le vecteur T dont toutes les coordonnées valent 1.
La quantité à minimiser apparaît alors être la norme au carré du vecteur Z-aX-bY-cT.
Cette quantité sera minimale lorsque a,b,c seront choisis de sorte que aX+bY+cZ soit le projeté (orthogonal) de Z sur l'espace engendré par X,Y et T. Tu écris que c'est alors réalisé lorsque Z-aX-bY-cT est orthogonal à X, à Y et à T, ce qui te fournit les équations :



Il te reste à t'armer de courage et à résoudre ce système de trois équations linéaires d'inconnues a, b et c.
Cordialement

[Pythales]

Sans chercher aussi loin, si on reprend l'expression de précédente, on cherche a, b et c tels que ;



(je n'arrive pas à trouver le "d" de la dérivation partielle)
ce qui conduit aux mêmes équations

[mln]

c'est \partial

[timoch]

On est bien d'accord que le systeme à résoudre est l'ensemble de ces formules "= 0" ?

[serge75]

oui, second membre égal à 0 car il s'agit d'exprimer des orthogonalités, donc un produit scalaire nul.

[mln]

Bonjour,
J'utiliserai la méthode des moindres carrés discrets
le plan est de la forme : ax+by+cz+d=0
Si , l'équation du plan peut s'écrire ,
Posons

on a donc

on cherche à minimiser

Ce polynôme du second degré est minimal pour . existe puisque M est de taille n,p avec .

(D'une manière générale, une méthode pour résoudre un système sur-déterminé de la forme on multiplie par
pour revenir à un système "carré")