Binôme de Newton et Matrice

[pluie2]

Bonjour,

Je dois, en utilisant le binôme de Newton, donner l'expression de A^n en fonction de n en sachant que la matrice A (3*3) est :
(2 1 0
0 2 0
0 0 3)

que la matrice B vaut :
( 0 1 0
0 0 0
0 0 0) et B^n=O3^(n-1)B en gros la matrice nulle

j'ai tout d'abord admis qu'on pouvais écrire A sous la forme aI3+bB=( a 0 0/ 0 a 0/ 0 0 a)+b(0 1 0/ 0 0 0/ 0 0 0)+(0 0 0/ 0 0 0/ 0 0 1)) = (a b 0/ 0 a 0/ 0 0 a+1) et donc avec b=1 et a=2 on a aI3+bB=A

le problème c'est que j'ai trois matrices, et j'ai toujours fait des exemples avec deux matrices pour avoir (aI+bB)^n = binome de Newton...
Donc soit mon expression de départ est fausse, mais je ne vois pas comment exprimer A à l'aide de seulement deux matrices si je veux avoir l'identité à l'intérieur

Merci de m'expliquer

[fatal_error]

hello,

si t'écris A=M+B avec

Code: Tout sélectionner

M=
2 0 0
0 2 0
0 0 3

et

Code: Tout sélectionner

B=
0 1 0
0 0 0
0 0 0

alors si tu écris le binome, t'as

et la plupart des B^{n-k} vaudront 0, du coup il te reste plus trop de termes à calculer

il faut quand même vérifier que M et B commutent

[pluie2]

d'accord donc ici pas besoin de la matrice identité du ocup ?

donc j'obtiens : avec k=0 : 1*I*B+somme de k=1 à n des C(k,n) M^k car B^n-k vaudra toujours la matrice nulle

= 1*I*B+...

c'est pour la suite que je bloque, que dois je utiliser?

[pluie2]

il ne faudrait pas plutot écrire : A^n=(M+B)^n= somme C(n,k)M^n-k * B^k ?