Bijectivité de x+sin(x)

[niggito]

bonjour
on demande de montrer que pour tout x dans R, f(x)= x+sin(x) est bijective.

je propose de montrer qu'elle est d'abord injective puis surjective.

injectivité:
soit x,x' dans R
f(x) = f(x') --> x+sin(x) = x'+sin(x') --> x = x'
donc f est injective

surjectivité:
pour tout x,y dans R
on cherche x dans R tel que f(x) = y
x+sin(x) = y

comment résout-on l'équation?

[chan79]

injectivité:
soit x,x' dans R
f(x) = f(x') --> x+sin(x) = x'+sin(x') --> x = x'
donc f est injective

bonjour
tu n'as rien démontré
Calcul plutôt f'(x)

[Mimosa]

Bonjour

D'abord pour l'injectivité tu n'as rien démontré. Qu'est-ce qui te permet d'affirmer que entraine ?

Pour la surjectivité, tu ne pourras pas résoudre cette équation. Regarde les limites de à et .

Enfin, on ne te demande pas de montrer que est bijective pour tout , ce qui ne veut rien dire, mais que est bijective.

[niggito]

merci pour l'aide,
f'(x) = 1+ cos(x)
or -1<cos(x)<1 (large)
donc f'(x) >0 (large)
donc f est croissante

sauf que pour juger de la bijectivité de f on a besoin de la stricte croissance

[chan79]

f'(x)>=0 et l'ensemble des x tels que f'(x)=0 ne contient pas d'intervalle ouvert non vide donc f est strictement croissante

[Mimosa]

Non, pour avoir un changement de sens, il faut que la dérivée s'annule et qu'elle change de signe.

[Sa Majesté]

https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonction_d%C3%A9riv%C3%A9e/D%C3%A9riv%C3%A9e_et_variations

Comme l'a dit chan79
Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I
Si pour tout sauf peut-être en un nombre fini de points où f′(x) s'annule, alors ƒ est strictement croissante sur I.
De même, si pour tout sauf peut-être en un nombre fini de points où f′(x) s'annule, alors ƒ est strictement décroissante sur I.

[Mimosa]

Mais ici il y a une infinité de points! C'est bien parce que l'intérieur est vide, ou parce qu'il n'y a pas de changement de signe que ça marche!

[mathelot]

L'ensemble des zéros de la dérivée f' forment un ensemble discret sans point d'accumulation.

L'intersection de Z avec un intervalle fermé,borné (un compact) est réduit à un nombre fini de points.
Sur le complémentaire, f'>0 et f est strictement croissante. En raccordant les intervalles,
f est strictement croissante sur

[Sa Majesté]

Sur un intervalle, il y a un nombre fini de points.
D'autre part, même sur IR, il n'y pas d'intervalle (non réduit à un point) où f' est nulle.
f' est nulle sur un infini "discret" de points (pas sur un intervalle de type [a,b]).
C'est ma même chose pour la fonction g(x)=x^3 dont la dérivée s'annule en x=0 mais qui est néanmoins strictement croissante sur IR.

[chan79]

D'après ce qu'a mis Sa Majesté
f est strictement croissante sur tout intervalle de la forme
et tu peux ensuite conclure car deux réels a et b appartiennent forcément à un intervalle de ce type.

[mathelot]

Sur un intervalle borné, il y a un nombre fini de points.
D'autre part, même sur IR, il n'y pas d'intervalle (non réduit à un point) où f' est nulle.
f' est nulle sur un infini "discret" de points (pas sur un intervalle de type [a,b]).
.

[niggito]

merci beaucoup

[Sa Majesté]

Merci pour la précision mathelot