Bijection d'une fonction

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Je suis totalement bloqué sur l'exercice suivant :


Soit f une fonction continue sur R, on suppose qu’il existe a réel tel que f o f(a)=a.
1) Montrer qu’il existe un réel c tel que : f(c)=c (On induira le réel b=f(a))

Soit x,y et z 3 réels tous non nuls tel que : x+y+z=0
2)a. Montrer que 2 de ces nombres sont de singe contraire stricts.

Soit f une fonction continue sur R, on suppose qu’il existe un réel a tel que : f o f o f(a)=a.
2)b. En calculant l’image de trois réels bien choisis, prouver qu’il existe un réel c tel que : f(c)=c.

Pouvez vous m'aider
Merci d'avance

[DamX]

Hello,

Pour commencer la 1, étudie la fonction g:x->f(x)-x sur l'intervalle [a,f(a)] (ou [f(a),a] si f(a)
Damien

[Maths-ForumR]

Mais je n'ai pas de valeur de fonction pour f(x) comment faire ?

[DamX]

Mais je n'ai pas de valeur de fonction pour f(x) comment faire ?

Que vaut g(a) ? Que vaut g(f(a)) ?

[Maths-ForumR]

g(a) = f(a)-a

et

g(f(a)) =f(f(a))-f(a) ?

[BiancoAngelo]

g(a) = f(a)-a

et

g(f(a)) =f(f(a))-f(a) ?

Continue, que vaut f(f(a)) d'après l'énoncé ?
Du coup, que dire en comparant g(a) et g(f(a)).

Du coup, est-ce qu'il existe c / g(c) = 0 ?

[Maths-ForumR]

g(f(a)) =f(f(a))-f(a) = a - f(a) et g(a) = f(a)-a
Donc g(a) = - g(f(a))

Ainsi g(c) = 0 ssi - g(f(c))=0 <-> c - f(c)=0 soit c= f(c)
Mais je doit trouver la valeur de c

[BiancoAngelo]

g(f(a)) =f(f(a))-f(a) = a - f(a) et g(a) = f(a)-a
Donc g(a) = - g(f(a))

Ainsi g(c) = 0 ssi - g(f(c))=0 c - f(c)=0 soit c= f(c)
Mais je doit trouver la valeur de c

Ah bon ? Ce n'est pas la question, on te demande l'existence.

Et pourquoi g(c) = 0 ssi - g(f(c))=0 c - f(c)=0 soit c= f(c) ?
EDIT : OK, mais ça, on le dit après.
Bref.

Une valeur négative, une positive (eh oui, elles sont de signe opposé). On cherche si elle peut valoir 0.
La fonction est continue.
Ca te rappelle pas un théorème ?

[Maths-ForumR]

Dans mon énoncé il me dise d’introduire f(a)=b

Donc :
g(b) =f(b)-b = a - b et g(a) = b - a
Et g(a) = - g(b)

Mais après je ne vois pas quoi faire avec c

[BiancoAngelo]

Dans mon énoncé il me dise d’introduire f(a)=b

Donc :
g(b) =f(b)-b = a - b et g(a) = b - a
Et g(a) = - g(b)

Mais après je ne vois pas quoi faire avec c

Non mais tu ne lis pas ce que je t'écris

g(x) = f(x) - x.

On vient de montrer que g(a) et g(b) sont de signes opposés.
f étant continue, g aussi.
Maintenant, d'après le TVI, il existe donc c tel que g(c) = 0.

Or, g(c) = 0 pareil que f(c) - c = 0 donc que f(c) = c.

On se fout de la valeur de c, c'est l'existence qui est recherchée !

[Maths-ForumR]

Très bien merci !

Avez vous une piste pour la question 2)a. ?

[chan79]

Très bien merci !

Avez vous une piste pour la question 2)a. ?

salut
S'ils étaient tous les trois de même signe, ce serait possible ?

[Maths-ForumR]

salut
S'ils étaient tous les trois de même signe, ce serait possible ?

Non car l'hypothèse rejeté que x,y et z=0
Le raisonnement est logique mais comment le prouver ?

[zygomatique]

salut

chan79 a donné la réponse ....

mais pour compléter ::

x + y = -z


or x + y a le signe de celui qui a la plus grande valeur absolue

donc z et celui qui a la plus grande valeur absolue ont des signes contraires

....

[Maths-ForumR]

Excusez moi mais je n'ai pas bien compris votre résonnement :/

[zygomatique]

Excusez moi mais je n'ai pas bien compris votre résonnement :/

les cloches résonnent, les hommes raisonnent .... avec des exemples .....

:lol3:

[Maths-ForumR]

les cloches résonnent, les hommes raisonnent .... avec des exemples .....

:lol3:

C'est a cause du T9 ^^

Mais pouvez vous m'expliquer une nouvelle fois ?

[Sake]

C'est a cause du T9 ^^

Mais pouvez vous m'expliquer une nouvelle fois ?

Alors,

x + y = -z
Supposons que z est positif. Alors -z est négatif.
Alors x + y est négatif. Pour que cette somme soit négative, il faut :
1) Que x et y soient négatifs, c'est-à-dire qu'ils sont tous les deux de signe contraire à z. L'assertion devient vraie.
2) Que le nombre le plus grand en valeur absolue soit négatif. On vérifie toujours l'assertion que l'on veut montrer.

Par symétrie des signes, le cas z négatif se traite de la même manière. On conclut.

[Maths-ForumR]

Très bien j'ai compris merci !!

Pour la 2)b. Je ne vois pas comment choisir les 3 réels
Une piste ? :)

[BiancoAngelo]

Très bien j'ai compris merci !!

Pour la 2)b. Je ne vois pas comment choisir les 3 réels
Une piste ?

Suppose que pour tout x, f(x) > x.

On a donc f(a) > a.
On a aussi f(f(a)) > f(a).
Et aussi f(f(f(a))) > f(f(a)).

Or, f(f(f(a))) = ... donc... et donc...

Je te laisse continuer.

Idem pour le cas où pour tout x, f(x) < x.

Donc il existe c/ f(c) = c.

A demain !