Fonction composée en elle-même et bijection

[charchour]

Bonjour,

Quand il s'agit de démontrer une bijection avec des fonctions déterminés par des x j'arrive.
Mais là on me donne une fonction f sans x, dans une équation, où il faut que je prouve que c'est une bijection. Et là je m'y pers. Comment montrer d'abord que c'est une injection, puis une surjection?
Et après encore croissant et pas décroissant?

Voici l'énoncé:
On considère la fonction f, continue de R dans R ( bon là on sait qu' elle est continue sur un intervalle donné, il ne reste plus qu'à montrer qu'elle est monotone sur l'intervalle), satisfaisant l'équation:( c'est là que ça devient extra compliqué): fof-2f+id=0 avec id la fonction à qui x associe x

La première fois que je tombe sur une fonction composé uniquement de fonctions, et partout la même f. Comment faut-il faire avec ce truc?

a) Montrer que f est une bijection (alors moi jai pensé que le id dans l'équation suffisait à prouver que c'est une bijection car si f est solution de l'équation f-1of=id et d'après le théorème ça revient à dire que f est bijective, et la composée de la fonction et sa réciproque donne une identité)

ou alors on part de y=f(x) pour arriver à x= f(y) et si on arrive alors on a une bijection.
on a f(f(x))-2f(x) + x (car id à qui x associe x)= 0
D'où x= 2y-f(y)
mais ça faut montrer que ça marche or on a ni la valeur de x ni celle de y ni aucun outil pour calculer f(y).

b) Montrer que f n'est pas décroissante sur R.
(là j'ai utilisé le raisonnement par l'absurde.
si f est décroissante alors fof est croissante et - fof est décroissante.
on sait que id est croissante alors on pose l'égalité fof-2f+ id=O
id= 2f-fof
Une fonction croissante doit être égale à une fonction croissante.
-fof décroissante et 2f décroissante.
L'égalité ne marche pas, donc f est forcément croissante.)

c)Montrer que f est croissante sur R
(Or on a du démontrer que f est bijective. Une fonction bijective est strictement monotone et continue sur son intervalle. ici f n'est pas décroissante, donc elle est croissante sur R.)

d)Montrer que quelque soit n appartenant à Z, f^n(0)= nf(0)
Plus généralement montrer que pour tout x appartenant à R, on peut trouver un réel t, dépendant à priori de x, tel que pour tout entier relatif n, f^n(x)= x+nt t est indépendant de n

donc il faut montrer que f(f(f(f(f(f(0)=6f(0) j'ai pris un nombre au hasard.
Pour n= 1 on a f(0)= f(0)
donc pour n= 1 ça marche.
Supposons que la proposition est vraie pour tout n.
Maintenant démontrons que cest vrai pour tout n+1.
f^(n+1) f(0)= n+1 f(0)
f^(n)f(0) *f(0)= n f(0) + f(0)
or f(0)= f(0) et f^nf(0)= nf(0)
donc d'près le raisonnement par récurrence f^n(0)= nf(0).Maintenant il s'agit de montrer que f^n(x)= x+nt t est indépendant de n est vrai.
On sait que f^n(0)= nf(0).
Pour x=0 on a f^n(0)= nt

pour n=1 f(x)=x+ t
on suppose que la proposition est vrai pour tout n.
on montre que c'est vrai pour tout n+1
f^(n+1) (x)= x + (n+1) t
f^n(x)*f(x)= x+ nt + t
or f(x)= x+t
et là est-ce que j'ai le droit de dire que f^n(x)= nt car là ça prouverait que t ne dépend pas de x et on rejoindrait la question d.
ah la je suis perdu je ne sais plus quoi faire.


d) Déduire de la croissance de f et de ce qui précède que f est une translation c'est à dire que t ne dépend pas de x.

Salut à tous, et merci d'avance pour votre aide

[Nightmare]

Salut,

1) Je ne comprends pas ta justification.

Ok, f est bijective si et ssi il existe f-1 telle que f-1 o f = Id. Mais a priori ce f-1 n'est pas immédiatement donné dans l'énoncé.

A posteriori, si, il suffit de réécrire que f²-2f+Id=0 équivaut à (2-f)of = Id, si bien que f est bijective de réciproque 2-f

[Nightmare]

b) C'est ok

c) Attention, le théorème est : Une fonction continue et bijective est strictement monotone.

Toi, tu dis qu'une fonction bijective est strictement monotone et continue, ce qui est faux, mais à mon avis tu t'es simplement mal exprimé.

Je jette un oeil au reste après mangé.

[charchour]

Salut,

1) Je ne comprends pas ta justification.

Ok, f est bijective si et ssi il existe f-1 telle que f-1 o f = Id. Mais a priori ce f-1 n'est pas immédiatement donné dans l'énoncé.

A posteriori, si, il suffit de réécrire que f²-2f+Id=0 équivaut à (2-f)of = Id, si bien que f est bijective de réciproque 2-f

Non finalement j'ai renoncé à cette idée c'est trop compliqué. C'est plutôt la deuxième partie

"ou alors on part de y=f(x) pour arriver à x= f(y) et si on arrive alors on a une bijection.
on a f(f(x))-2f(x) + x (car id à qui x associe x)= 0
D'où x= 2y-f(y)
mais ça faut montrer que ça marche or on a ni la valeur de x ni celle de y ni aucun outil pour calculer f(y)."

que je cherche à finailler.

Je n'arrive pas à la question a, c et d qui me bloquent comme pas possible. Les autres j'ai répondu à peu près.

[Kikoo <3 Bieber]

A posteriori, si, il suffit de réécrire que f²-2f+Id=0 équivaut à (2-f)of = Id, si bien que f est bijective de réciproque 2-f

Salut Nightmare,
(2-f)of=2f-fof ? Je ne connaissais pas cette façon de le noter.

[Nightmare]

Ce n'est pas une notation, juste une propriété de la loi + par rapport à la loi o.

d'ailleurs, une petite erreur s'est glissée, il s'agit de (2Id-f)of et non de (2-f)of.

[chan79]

Bonjour,

Quand il s'agit de démontrer une bijection avec des fonctions déterminés par des x j'arrive.
Mais là on me donne une fonction f sans x, dans une équation, où il faut que je prouve que c'est une bijection. Et là je m'y pers. Comment montrer d'abord que c'est une injection, puis une surjection?
Et après encore croissant et pas décroissant?

Voici l'énoncé:
On considère la fonction f, continue de R dans R ( bon là on sait qu' elle est continue sur un intervalle donné, il ne reste plus qu'à montrer qu'elle est monotone sur l'intervalle), satisfaisant l'équation:( c'est là que ça devient extra compliqué): fof-2f+id=0 avec id la fonction à qui x associe x

La première fois que je tombe sur une fonction composé uniquement de fonctions, et partout la même f. Comment faut-il faire avec ce truc?

a) Montrer que f est une bijection (alors moi jai pensé que le id dans l'équation suffisait à prouver que c'est une bijection car si f est solution de l'équation f-1of=id et d'après le théorème ça revient à dire que f est bijective, et la composée de la fonction et sa réciproque donne une identité)

ou alors on part de y=f(x) pour arriver à x= f(y) et si on arrive alors on a une bijection.
on a f(f(x))-2f(x) + x (car id à qui x associe x)= 0
D'où x= 2y-f(y)
mais ça faut montrer que ça marche or on a ni la valeur de x ni celle de y ni aucun outil pour calculer f(y).

b) Montrer que f n'est pas décroissante sur R.
(là j'ai utilisé le raisonnement par l'absurde.
si f est décroissante alors fof est croissante et - fof est décroissante.
on sait que id est croissante alors on pose l'égalité fof-2f+ id=O
id= 2f-fof
Une fonction croissante doit être égale à une fonction croissante.
-fof décroissante et 2f décroissante.
L'égalité ne marche pas, donc f est forcément croissante.)

c)Montrer que f est croissante sur R
(Or on a du démontrer que f est bijective. Une fonction bijective est strictement monotone et continue sur son intervalle. ici f n'est pas décroissante, donc elle est croissante sur R.)

d)Montrer que quelque soit n appartenant à Z, f^n(0)= nf(0)
Plus généralement montrer que pour tout x appartenant à R, on peut trouver un réel t, dépendant à priori de x, tel que pour tout entier relatif n, f^n(x)= x+nt t est indépendant de n

donc il faut montrer que f(f(f(f(f(f(0)=6f(0) j'ai pris un nombre au hasard.
Pour n= 1 on a f(0)= f(0)
donc pour n= 1 ça marche.
Supposons que la proposition est vraie pour tout n.
Maintenant démontrons que cest vrai pour tout n+1.
f^(n+1) f(0)= n+1 f(0)
f^(n)f(0) *f(0)= n f(0) + f(0)
or f(0)= f(0) et f^nf(0)= nf(0)
donc d'près le raisonnement par récurrence f^n(0)= nf(0).Maintenant il s'agit de montrer que f^n(x)= x+nt t est indépendant de n est vrai.
On sait que f^n(0)= nf(0).
Pour x=0 on a f^n(0)= nt

pour n=1 f(x)=x+ t
on suppose que la proposition est vrai pour tout n.
on montre que c'est vrai pour tout n+1
f^(n+1) (x)= x + (n+1) t
f^n(x)*f(x)= x+ nt + t
or f(x)= x+t
et là est-ce que j'ai le droit de dire que f^n(x)= nt car là ça prouverait que t ne dépend pas de x et on rejoindrait la question d.
ah la je suis perdu je ne sais plus quoi faire.


d) Déduire de la croissance de f et de ce qui précède que f est une translation c'est à dire que t ne dépend pas de x.

Salut à tous, et merci d'avance pour votre aide

salut
pour l'injection, c'est assez simple
Tu supposes que f(x)=f(y)
f(f(x))=f(f(y))
2f(x)-x=2f(y)-y
comme on a supposé f(x)=f(y)
-x=-y
x=y

[charchour]

salut
pour l'injection, c'est assez simple
Tu supposes que f(x)=f(y)
f(f(x))=f(f(y))
2f(x)-x=2f(y)-y
comme on a supposé f(x)=f(y)
-x=-y
x=y

ah je n'y avais pas pensé en fait t'as pris les membres un par un.
Dans fof - 2f + id (fof signifie qu'elle est la composé de elle-même)
tu as transformé en f(f(x)- 2f(x)+x
et en f(f(y))- 2 f(y) +y
donc en supposant que f(x)=f(y)
ça inclue que -2f(y)=-2f(x)
et f(f(x))=f(y)=f(x)
donc comme tous les membres sont égaux x=y, mais dans ce cas tu aurais posé dès le départ
f(f(x)- 2f(x)+x= f(f(y))- 2 f(y) +y
est-ce qu'on a le droit de poser une égalité directement? a ouais bien sur, en montrant que si les équations sont égals x et y sont obligatoirement égaux.

Et pour la surjection
on montre que f(x)=y
soit fof - 2f + id=0
x= 2f(x) - fof(x)
soit x= 2y- f(y)
or f(y) = x
non là je raconte n'importe quoi.

[Kikoo <3 Bieber]

Ce n'est pas une notation, juste une propriété de la loi + par rapport à la loi o.

d'ailleurs, une petite erreur s'est glissée, il s'agit de (2Id-f)of et non de (2-f)of.

Ah oui, je crois l'avoir vu en ayant abordé les transformations dans le plan...

[charchour]

Sinon le début de la question c est bonne?
Par contre je ne sais pas comment la finir.
Et la question d personne n'y arrive?