Bijection d'un fonction

[Lodie]

Bonjour,
j'ai un petit exo à faire mais je n'aboutis pas...
f: lN* -> lN* définie par f(3j+1)= 2j+1 , f(3j+2)= 4j+2 , f(3j+3)= 4j+4
Il faut alors montrer que f est une bijection de lN* dans lN*
Merci d'avance

[Quidam]

Bonjour,
j'ai un petit exo à faire mais je n'aboutis pas...
f: lN* -> lN* définie par f(3j+1)= 2j+1 , f(3j+2)= 4j+2 , f(3j+3)= 4j+4
Il faut alors montrer que f est une bijection de lN* dans lN*
Merci d'avance

Une bijection ? C'est une injection surjective, ou une surjection injective, comme tu voudras...
Pour montrer que c'est une injection : montre que si f(j)=f(k) alors j=k !
Pour montrer que c'est une surjection, prend un l au hasard dans N et cherche s'il existe j tel que f(j)=l !

Ca ne parait pas très difficile. Pour montrer l'injection, tu peux montrer que f(3J+1) ne peut être égal à f(3k+2) quel que soit k, ni à f(3k+3) quel que soit k, et même chose pour f(3j+2)
Ensuite tu montreras que f(3j+1) est forcément différent de f(3k+1) dès que j est différent de k ; et même chose pour f(3j+2) et f(3j+3)

Les principes sont les mêmes pour la surjection : tu n'as qu'à distinguer les 4 cas possibles selon le reste de la division de l par 4 !

[Lodie]

Une bijection ? C'est une injection surjective, ou une surjection injective, comme tu voudras...
Pour montrer que c'est une injection : montre que si f(j)=f(k) alors j=k !
Pour montrer que c'est une surjection, prend un l au hasard dans N et cherche s'il existe j tel que f(j)=l !

Ca ne parait pas très difficile. Pour montrer l'injection, tu peux montrer que f(3J+1) ne peut être égal à f(3k+2) quel que soit k, ni à f(3k+3) quel que soit k, et même chose pour f(3j+2)
Ensuite tu montreras que f(3j+1) est forcément différent de f(3k+1) dès que j est différent de k ; et même chose pour f(3j+2) et f(3j+3)

Les principes sont les mêmes pour la surjection : tu n'as qu'à distinguer les 4 cas possibles selon le reste de la division de l par 4 !

je n'ai pas compris comment on démontre la surjection...

[alben]

Comme Quidam te l'as indiqué, il faut partir d'un l quelconque et étudier ce qui se passe dans les 4 cas correspondant aux restes de la division de l par 4.
A chaque fois, il te faut montrer que tu peux trouver un x tel que f(x)=l. Ca c'est la surjection. Si tu montre que ce x est unique, c'est l'injection !

[Lodie]

Je sais bien ce qu'est l'injection et la surjection. Ce que je ne comprend pas c'est le fait que l se divise par 4 et qu'il y a 4 cas possibles, tout cela pour montrer que f est surjective..

[alben]

sais tu ce qu'est le reste d'une division euclidienne ?

[Lodie]

je risque peut-être de te faire sortir de tes gonds mais je crois qu'un division euclidienne s'écrit par exemple y=ax+l (l le reste)...
non? :hein:

[alben]

je risque peut-être de te faire sortir de tes gonds mais je crois qu'un division euclidienne s'écrit par exemple y=ax+l (l le reste)...
non? :hein:

plus précisément y divisé par x ->y=ax+l avec a entier et l<x
dans notre cas c'est plutôt l=4n+r avec r<4
combien de possibilités pour r (normalement tu devrait compter avec une seule main sans utiliserr le pouce :we: )

[Lodie]

0, 1, 2, 3 ca fait 4 possibilités? :hein:

[alben]

Voilà
Maintenant, tu ne peux pas faire l'économie de traiter ces 4 cas un par un.
Par exemple si le reste de la division de l par 4 est 0, laquelle des trois formules pourra me conduire à un résultat divisible par 4? quel sera le j correspondant ? est-ce qu'il est possible qu'un autre j conduise au même l ?
etc...

[Lodie]

Au risque de paraître complètement à côté de la plaque,
j'ai suivi vos conseil. f(x)=l
je reprend l'énoncé on a par exemple 2j+1= l
je ne vois pas en quoi la division par 4 joue un rôle important