Bezout modifié

[Anonyme]

bonjour a tous
j'ai besoin de votre aide pour cet exo

soit( a,b) de N non nul tel que a et b sont premiers entre eux.Prouver qu'il existe toujours un couple (u,v) de Z tel que au+bv=1 avec la contrainte
abs(u)peut-il en exister plusieurs? Exemples?

abs veut dire valeur absolue

MERCI

[yos]

Si (u,v) est une solution, les autres solutions sont les couples (u-kb,v+ka) où k est un entier quelconque (se voit en terminale).
tu veux :
-b
Dans ]-b,b[ il y a 2b-1 entiers et la "suite" (u-kb) va de -infini à +infini par "pas" de b.

Je te laisse finir.

[Anonyme]

excusez moi Yos mais je n'ai pas bien compris votre raisonnement. pouviez vous etre plus clair??

MERCI

[yos]

Reprenons :

a et b sont des entiers >0 et premiers entre eux, donc il existe un couple (u,v) d'entiers tel que au+bv=1.
Si on remplace (u,v) par (u-kb,v+ka), avec k entier, alors l'égalité reste vraie.
C'est-à dire qu'on a une infinité de couples pour réaliser l'égalité de Bezout. Il n'est pas difficile de prouver qu'il n'y a que ceux-là. On le fait en terminale S spémath.
La question est de savoir si pour certains entiers k on a
|u-kb|
On va supposer a>1 et b>1 (les cas a=1,ou b=1 sont sans intérêt).

1) Si |u|donc 1/b-a
2) |u-kb|-bou encore :
u/b-1
u/b n'est pas un entier car u et b sont premiers entre eux et b est différent de 1.

Ce qui fait que l' encadrement u/b-1
3) Conclusion : il y a toujours deux solutions à ton problème.

4) Exemple a=7 et b=16

Les deux solutions sont (7,-3) et (-9,4).