Bézout : je ne suis pas d'accord avec mon livre de maths

[lolveley]

bonjour

je lis actuellement un livre de maths "pour le fun" mais je bloque.

voici le problème:
il s'agit d'utiliser le théorème de bézout.
le livre dit:

si on a
km1-k'm2=b-a (1)
et m1,m2 premiers entre eux,

alors il y a des solutions du type:

k=k0+pm1
k'=k'0+pm2

moi je trouve ceci:
il y a des solutions de la forme :

k=k0+pm2
k'=k0+pm1

voici mon raisonnement:

le théorème de bézout suivi d'une multiplication par b-a donne:
(1) => il existe n1,n2 tq n1m1+n2m2=b-a (2)

(1)-(2) => m1(k-n1)-m2(k'+n2)=0
soit m1(k-n1)=m2(k'+n2) (3)

dans (3), on a m1|(m2(k'+n2))
or m1 ne divise pas m2 donc m1|(k'+n2), d'où il existe M tq k'+n2=m1M

on remplace dans (3): m1(k-n1)=m2m1M
soit k=n1+m2M
d'où k'=-n2+m1M

et m1 et m2 ne sont pas à la même place que dans le livre.

mon raisonnement est-il juste?

merci,

olivier

[ev85]

bonjour

je lis actuellement un livre de maths "pour le fun" mais je bloque.

voici le problème:
il s'agit d'utiliser le théorème de bézout.
le livre dit:

si on a
km1-k'm2=b-a (1)
et m1,m2 premiers entre eux,

alors il y a des solutions du type:

k=k0+pm1
k'=k'0+pm2

moi je trouve ceci:
il y a des solutions de la forme :

k=k0+pm2
k'=k0+pm1

voici mon raisonnement:

le théorème de bézout suivi d'une multiplication par b-a donne:
(1) => il existe n1,n2 tq n1m1+n2m2=b-a (2)

(1)-(2) => m1(k-n1)-m2(k'+n2)=0
soit m1(k-n1)=m2(k'+n2) (3)

dans (3), on a m1|(m2(k'+n2))
or m1 ne divise pas m2 donc m1|(k'+n2), d'où il existe M tq k'+n2=m1M

on remplace dans (3): m1(k-n1)=m2m1M
soit k=n1+m2M
d'où k'=-n2+m1M

et m1 et m2 ne sont pas à la même place que dans le livre.

mon raisonnement est-il juste?

merci,

olivier

D'accord pour ton résultat, mais la rédaction est à reprendre :

Or est premier avec donc, d'après le théorème de Gauss, , d'où il existe tq