2 belles expressions

[pusep]

Bonjour, par simple curiosité, j'aimerais calculer:

d'une part lim [PPCM(1,2,3,.....,n)^(1/n)] en +oo

d'autre part lim [ ((7*(1+1/16+1/81+1/4^4+1/5^4+...+1/n^4)/pi^4)^(-1) en +oo aussi

Merci d'avance

[JJa]

Bonjour,

zeta(x) = Sigma de 1/n^x pour n=1 à infini
( Fonction zeta de Riemann )
On sait que zeta(4)=(pi^4)/90
D'où la valeur de la limite recherchée.

[pusep]

pourquoi c'est /90 ?? (sinon merci ;) ), et auriez vous une démo pour la 1ere?

[JJa]

Re-bonjour,

La fonction "prime theta" étant définie par :
theta(n) = sigma de ln(p(j)) pour j=1 à n et avec p(j)=le j.ième nombre premier.
Bach et Shallit ont montré que, lorsque n tend vers l'infini, theta(n) est équivalent à n.
A partir de ces connaissances, on voit que pour n tendant vers l'infini :
ln(PGCD(1,2,3,.....,n)^(1/n)) = (1/n)*theta(n) est équivalent à 1.
lim [PGCD(1,2,3,.....,n)^(1/n)] = exp(1)
Le PPCM est supérieur au PGCD et ceci d'un facteur croissant lorsque n croit.
La limite cherchée est supérieure à exp(1) mutiplié par un facteur croissant. Donc il n'y aurait pas de limite (autrement dit, limite infinie)
Sauf erreur de raisonnement de ma part... A vérifier.

[pusep]

ce qui est étrange, c'est que lorsque qu'on prend des valeurs, on s'aperçoit que ça tend vers 2, (qui selon ma situation, serait le résultat recherché), un équivalent de ppcm ne serait pas 2^n, ce qui faciliterait fort les choses...

[ThSQ]

(p premier en indice)
et donc (prendre le log et appliquer le théorème des nombres premiers)

Donc c'est bien

[pusep]

merci beaucoup c'est bien le résultat recherché,