Bases orthonormées et rotations

[mathieu_t]

Bonjour,

Je précise que mes connaissances en maths datent un peu (5 ans que j'ai quitté la spé), donc je ne sais pas si ce que je vais dire est une énorme bourde...

Alors : il me semble que j'ai appris un théorème qui démontre que pour tout espace vectoriel ( euclidien ? ça je crois mais j'en suis plus sûr), si on prend une base quelconque, il est toujours possible de l'orthonormer...

Est-ce que ça marche aussi dans les espaces affines ? Je suppose que oui, mais je voudrais en être sûr...

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Bon en fait je veux savoir ça pour quelque chose de plus large : si on prend une rotation quelconque dans (pas forcément centrée sur 0 quoi), peut-on définir à coup sûr une base dans laquelle il est facile d'exprimer cette rotation ?
Ce que je veux : être sûr qu'on peut se ramener à chaque fois à la matrice , et ce quelle que soit la rotation au début...

Merci !

[yos]

Le théorème est le procédé d'orthonormalisation de schmitt. A partir d'une base , on construit une base orthonormée et telle que engendre le même sous-espace que pour tout i. C'est évident par récurrence.
Pour le cas affine euclidien, c'est pareil. Il y a juste un point en plus (l'origine) et on n'y touche pas.
Pour une rotation de , il faut faire attention car on tourne autour d'un axe (orienté) et pas autour d'un point. En prenant une base telle que soit l'axe de la rotation, on a la matrice que tu indiques.

[mathieu_t]

Ok !

Merci bien.