(L2-L3) Bases de l'Algèbre

[Robot]

, c'est (on force le carré de à être ).
, c'est dans lequel on tue et . Commençons par tuer , on a dans lequel on tue . Faisons le changement de variable . Notre anneau est alors . Ses éléments peuvent être représentés par le avec , il y en a bien quatre. La classe de vérifie (c'est un élément non nul de carré nul).

, c'est dans lequel on tue et . Commençons par tuer , on a dans lequel on tue . Par le théorème chinois, vu que et sont premiers entre eux dans , notre anneau est isomorphe à , et ce produit est isomorphe à ( s'envoyant sur dans le premier facteur et sur dans le second). Notre quotient est le produit de deux copies de , il a 25 éléments.

[Lostounet]

Merci Robot pour cette vision synthétique des choses...je devrais m'y habituer...

Pas sûrque je sois encore prêt à jongler comme tu le fais.. (je continue de bosser et je vous tiens au courant)

[Robot]

Tu peux regarder ), ça te fera un troisième cas de figure (après un anneau local non réduit et un produit de corps, tu trouveras ...).

[Lostounet]

Bonjour,

J'aurais quelques petites questions, avant de continuer:

I. Lorsque tu dis Z/5Z [X] / (X - 3) cet objet n'est pas clair à mes yeux. Que veut dire "X envoyé sur 3" ? X - 3 = 0 dans Z/5Z[X] ?

2. Comment se fait-il que la norme ("stathme euclidien") permet de "deviner un peu" l'anneau quotient? Enfin le nombre de ses éléments.
Car j'ai constaté que calculer la norme de 5 par exemple permettait de "deviner" le nombre d'éléments... 25


Prenons par exemple Z[i]/(2 + i)

N(2 + i) = 5 on peut s'attendre à 5 éléments

Z[i] c'est Z[X]/(X^2 + 1)(2 + i)

Z[X]/(X^2 + 1)(2 + i)... Mais encore?
Je pense que cela ne veut pas rentrer.

3. Z[i]/(2) est-il un corps par exemple?

[Robot]

I. Lorsque tu dis Z/5Z [X] / (X - 3) cet objet n'est pas clair à mes yeux. Que veut dire "X envoyé sur 3" ? X - 3 = 0 dans Z/5Z[X] ?

On parle de polynômes à coefficients dans , modulo (on tue , on force à être égal à 3). Tout polynôme est équivalent à son reste dans la division euclidienne par , reste qui est . Le quotient est isomorphe à , le morphisme surjectif défini par a pour noyau l'idéal . Ce morphisme envoie sur , et il est entièrement déterminé comme morphisme de -algèbres par le fait d'envoyer sur .

2. Comment se fait-il que la norme ("stathme euclidien") permet de "deviner un peu" l'anneau quotient? Enfin le nombre de ses éléments.
Car j'ai constaté que calculer la norme de 5 par exemple permettait de "deviner" le nombre d'éléments... 25
Prenons par exemple Z[i]/(2 + i)
N(2 + i) = 5 on peut s'attendre à 5 éléments
Z[i] c'est Z[X]/(X^2 + 1)(2 + i)
Z[X]/(X^2 + 1)(2 + i)... Mais encore?
Je pense que cela ne veut pas rentrer.

Juste concernant l'exemple : , c'est (isomorphe à) . On peut commencer par tuer , le quotient est (isomorphe) à , s'envoie sur dans le quotient (et tout polynôme s'envoie sur son reste dans la division euclidienne par ). Il reste à tuer l'image de dans , or cette image est , donc au final est (isomorphe à) .

3. Z[i]/(2) est-il un corps par exemple?

On a vu que contient un élément non nul de carré nul (l'image de dans le quotient). Tu crois que c'est compatible avec le fait d'être un corps ?