Algebre lineaire Bases et applications

[ArtyB]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin de votre aide en algèbre linéaire, je ne suis pas sûr de mon raisonnement:

On considère les espaces vectoriels suivants, munis chacun de deux bases :
- E = , de bases et ,
- F = , de bases et .

Soit f : E- > F l’application linéaire donnée par la matrice M = dans les bases B et C.

On désigne M' la matrice de f dans les bases B' et C'.
1)
a)Donner la matrice P de passage de B à B' et Q de C à C'.
b) Quelle est la relation entre M, P, Q et M' ? Utiliser cette relation pour calculer M'.

1)
a)
P est telle que: BP=B'
Donc

Et Q telle que CQ=C'
Soit


EDIT: suite de l'exercice:
2. Soit E* le dual de E et (h(1); h(2), h(3)) la base duale de B'.
(a) Pour le polynôme p = aX² + bX + c,
déterminer les expressions de h(p), h(p) et h(p) en
fonction de a, b, c.
(b) Soit G l’application qui à tout p de E associe f(p)(1). Montrer que G est un élément de E* et
donner ses coordonnées dans la base (h(1),h(2),h(3))

Je ne comprends pas bien les instructions de la question 2 (a) comment prendre en compte le polynôme ?

[remullen2000]

Bonsoir,
Pour trouver la matrice de passage P, il faut exprimer les vecteurs de la base B dans la base B'.
1=.......
X=.......
X²=.......

[remullen2000]

De plus, la matrice P va de E dans E, donc elle est de taille 3x3 et à coefficients dans R et non dans R[X].
La matrice P, c'est la matrice de la fonction identité. Donc P(1)=1 P(X)=X et P(X²)=X².
Il faut comprendre qu'une matrice est un ensemble de colonnes et que ces colonnes sont en fait les coordonnées dans la base d'arrivée des images des vecteurs de la base de départ.

[ArtyB]

Merci de votre réponse,
Donc P est telle que B=PB' et non telle que BP=B' c'est bien cela ?
Dans ce cas là, on a P telle que:

Et donc il faut résoudre le système suivant:



C'est bien cela ?

[Robot]

Merci de votre réponse,
Donc P est telle que B=PB' et non telle que BP=B' c'est bien cela ?

Non, ce n'est pas cela.
Si tu es rouillé en algèbre linéaire, il faudrait peut-être commencer par relire un cours d'algèbre linéaire ?
La matrice de passage de B à B' est la matrice dont la j-ème colonne est formée des coordonnée du j-ème vecteur de B' dans la base B
Quelles sont les coordonnées de dans la base ?
Quelles sont les coordonnées de dans la base ?
Quelles sont les coordonnées de dans la base ?

[remullen2000]

a(1+X)+d(1+X^2)+g(1+X+X^2)=1
b(1+X)+e(1+X^2)+h(1+X+X^2)=X
c(1+X)+f(1+X^2)+i(1+X+X^2)=X^2

Oui c'est ça l'idée, et donc tu identifies les coefficients du polynome de gauche avec celui de droite.
Pour la première ligne on obtient:
a+d+g=1
d+g=0
a+g=0

et donc a=1 d=1 et g=-1.
C'est la première colonne de P.

[Robot]

remullen, tu confonds comme ArtyB la matrice de passage de B à B' et son inverse !

[ArtyB]

Merci de vos réponses.
@Robot Oui en effet mais étant à l'étranger je n'ai pas pu emmener mes cours avec moi malheureusement. Et je suis allé fouillé par ci par là dans des livres et sur internet et la matrice de passage pour un vecteur u de coordonnées U dans B et U' dans B', alors U=PB'.
Concernant les coordonnées, comment savoir quelles sont les coordonnées du j-ème vecteur de B' dans la base B ?

@remillen2000
Merci bien, je pense avoir compris le processus.
Du coup on a
b+e+h=0
b+h=1
e+h=0
soit b=0, h=1, e=-1

Et
c+f+i=0
c+i=0
f+i=1
soit i=1, f=0; c=-1 ?

[remullen2000]

Oui sauf que robot a raison, la matrice de passage P c'est l'inverse de celle que tu aura trouvé.
Il faut considérer l'application identité qui va de (E,B') vers (E,B) pour avoir la matrice de passage ( et donc c'est bien les vecteurs de B' qui faut exprimer dans B)

Donc

1+X=e1+e2
1+X²=e1+e3
1+X+X²=e1+e2+e3

avec e1=1 e2=X et e3=X²

donc la matrice est 1 1 0 pour la première colonne 1 0 1 pour la seconde et 1 1 1 pour la dernière...

Et c'est exactement l'inverse de la matrice que tu viens de trouver.

[ArtyB]

D'accord, mais je ne comprends pas pourquoi, parce que la matrice de passage pour un vecteur u de coordonnées U dans B et U' dans B', alors U=PB'.

Donc on aurait, en suivant votre raisonnement, la matrice de passage P telle que



avec BP=B', soit:

a*1+d*X+g*X²=1+X
b*1+e*X+h*X²=1+X²
c*1+f*X+i*X²=1+X+X²

Donc la matrice est:



C'est bine ça ?

[Robot]

D'accord, mais je ne comprends pas pourquoi, parce que la matrice de passage pour un vecteur u de coordonnées U dans B et U' dans B', alors U=PB'.

DE l'inconvénient de vouloir mettre la charrue avant les boeufs et de vouloir faire des exercices avant de revoir les définitions du cours...

D'abord, c'est U=PU', et ensuite c'est bien ce qu'on obtient en utilisant la définition que j'ai rappelée de la matrice de passage !!!

[ArtyB]

Argh oui au temps pour moi, je voulais écrire U=PU' et en effet c'est ce que l'on obtient, je devrais dormir un peu plus moi et réfléchir avant de poster, merci !

[remullen2000]

Pour bien comprendre cette histoire je te conseil de savoir faire le diagramme commutatif qui correspond à la situation!

Avec la fonction f, la fonction Id qui correspond à P, la fonction Id qui correspond à Q et la fonction f' qui correspond à M'. Ainsi tu verras la relation demandé en b).

[ArtyB]

Cette relation dont tu parles est bien la suivante ?

P est la matrice de passage, i.e. la matrice de l'application d'identité de muni de la base B' dans E muni de la base B. On ne fait qu'exprimer le même vecteur dans une autre base n'est-ce pas ? et P est la matrice qui permet le passage d'une base à une autre en "traduisant" les coordonnées.

Mais concernant la question b) cela donne:
c'est bien cela ?

[remullen2000]

Oui, ça m'en a bien l'air!

[ArtyB]

Un grand merci à vous ! Je risque de revenir pour quelques questions sur la dualité plus tard dans l'après midi haha.

[aymanemaysae]

La persévérance de M. Artyb à venir à bout de cette exercice, m'a impressionnée. Le conseil de M. Robot à maitriser le cours avant d'aborder la résolution des exercices m'ont donné l'idée de partager avec M. Artyb une partie de mon résumé de cours sur l'algèbre Linéaire.
Mme Annette Paugam, dans l'un de ses articles intitulé : Matrice de passage et changement de base, a insisté sur ce qu'il faut retenir à ce sujet. Elle a insisté - entre autres - sur :
1) L'application linéaire qui intervient dans un changement de base est l'identité
(Passage de la base base1 à la base base2) :idE : E(base2) --------> E(base1). Il faut faire attention que la base de l'ensemble de départ est la nouvelle base.
2) La matrice de passage P de ce changement de base, contient en colonnes les cordonnées des vecteurs de la nouvelle base exprimées dans l'ancienne.
J'aimerai bien ajouter une remarque qui m'a évitée beaucoup d'erreurs dans mes résolutions de ce genre d'exercices, et qui consiste à renommer les vecteurs des bases. Par exemple, pour cette exercice, et si c'était moi qui était en train de le résoudre, j'aurai fait comme suit:
La base B(1,X,X^2) je l'aurai écrite comme ceci : B(u1,u2,u3) avec u1=1, u2=X et u3=X^2.
La base B'(1+X,1+X^2,1+X+X^2), je l'aurai écrite comme ceci:B'(v1,v2,v3) avec v1=1+X, v2=1+X^2 et v3=1+X+X^2 .
La base C(1,X) comme C(m1,m2) avec m1=1 et m2=X.
La base C'(1+X,2X-1) comme C'(n1,n2) avec n1=1+X et n2=2X-1.
Avec ceci j'obtiens:
v1= 1+X = u1 + u2
v2= 1+X^2 = u1 + u3
v3= 1+X+X^2 = u1+u2+u3
Donc, la matrice de passage P de B à B' est comme suit:
(1-----1-----1)
(1-----0-----1)
(0-----1-----1)
j'obtiens aussi:
n1=1+X=m1+m2
n2=-1+2X = -m1+2m2
Donc la matrice de passage Q de C à C' est la suivante:
(1------(-1))
(1------( 2))
Une dernière chose avant de terminer ce petit résumé, j'essaierai de représenter le diagramme des applications linéaires et leur matrice dans les bases indiquées:
E(avec la base B) ----- f de matrice M ---------> F(avec la base C)
^............................................................................|
|.............................................................................|
|idE avec la matrice P.................................................| idF avec la matrice Q-1
|............................................................................\/
E(avec la base B') ----- f'de matrice M' ---------> F(avec la base C')

On a f' = (idF-1=idF) o f o idE = idF o f o idE et sa représentation matricielle est: M'= Q-1 M P .
Ceci récapitule ce qui a été dit dans cette discussion. Un grand mercià M. Robert et Mme Annette Paugam.
Je reste ouvert à toute remarque concernant ce petit résumé.

[remullen2000]

[aymanemaysae]

Merci M. Remullen2000, maintenant le diagramme est plus lisible.

[ArtyB]

Waow !
Un grand merci à vous pour le résumé et le diagramme ! Je n'avais jamais vu le diagramme mais en effet ça permet d'expliquer beaucoup de choses, merci beaucoup !