Bonjour, je sollicite votre aide pour résoudre cet exercice, je l'ai fait complètement, mais j'ignore si mon résultat est bon. J'ai l'impression que mon raisonnement tient la route, mais je ne suis pas certaine.
Soit, on note :
et
Donner une base de F et G et préciser leur dimension. Montrer aussi que E=F+*G
(+*=somme directe)
Ma réponse :
On veut une base de F
Soit ,
Donc
Par identification, on a
a=a
b=0
b=c
c=0
Donc
est une base de F
On veut une base de G.
Là ça se complique un peu, G est défini par P(1)=P(2),
[COLOR=DarkGreen] l'égalité n'est vraie que pour un polynôme nul ?
Je ne sais pas si on parle du même polynome P dans G et dans F, mais j'ai supposé que c'était le cas, sinon on l'aurait appelé Q ou autres.
Donc j'ai
P(1)=a + b + c
P(2)=4a + 2b + c
Par identification
a=4a, vrai si a=0
b=2b, vrai si b=0
c=c, vrai pour tout c
Est-ce que G=Vect(P(1))=Vect(P(2)) ?
Du coup, on aurait dim(G)=dim(P(1))
Or P(1) est une constante, donc de dimension 1 ?
On veut montrer que F+*G=E
F et G sont tous deux des sev de E. Donc une base de F est aussi une base de E, idem pour G ?
Du coup, si les bases de F et G sont aussi des bases de E, on peu dire que F et G sont supplémentaires, donc que leur intersection est nulle ?
dim(R^3)=3
et . Donc est une base,
Donc F et G sont supplémentaires
[/COLOR]
J'attends de lire vos corrections , et merci d'avance !