(L2-L3) Bases de l'Algèbre

[Lostounet]

Bonjour

Je crée donc ce fil dans l'espoir que quelqu'un m'explique certaines notions de base de l'algèbre. La meilleure manière pour moi de comprendre, c'est de mettre la main à la pâte. Je me suis muni de mon cours d'algèbre si besoin.

J'ai du mal à comprendre certaines choses de base.

1. Dans l'anneau, Z[i√5] soit l'idéal déterminer l'anneau quotient
Et en déduire que I1 est premier
2. Montrer que les idéaux I2 = (2, 1 - i√5)
I3 = (3, 1 + i√5)
I4 = (3 , 1 - i√5)
sont premiers

3. Montrer que les idéaux I1, I2, I3 et I4 ne sont pas principaux.

Voilà...

Pour commencer je sais qu'un idéal est premier lorsque xy n'est pas dedans lorsque ni x ni y ne le sont.
Un début pour la 1?
Il me semble qu'il y a équivalence entre A/I intègre et I premier mais la raison m'échappe un peu... (je vais essayer de trouver une démo)

Merci

[Ben314]

Pour commencer je sais qu'un idéal est premier lorsque xy n'est pas dedans lorsque ni x ni y ne le sont.
Il me semble qu'il y a équivalence entre A/I intègre et I premier
(je vais essayer de trouver une démo)

Un début pour la 1?

Et je t'inciterais plus que très fortement à chercher la preuve dans ta tête et pas dans un bouquin vu que c'est quand même du basique de chez basique comme preuve...

Sinon, pour la 1) j'aurais tendance à la faire "complet à la main" :
C'est lesquels les éléments de qui peuvent s'écrire avec ?

[Lostounet]

En écrivant a et b comme:
a = u + i√5v
b = w + i√5p

x doit s'écrire (2u + w - 5p)
et y doit s'écrire sous la forme (2v + p + w)...

Qu'est-ce que c'est que ça?
C'est plus joli modulo 2 ... x et y congrus à w + p

Oui je vais bien finir par assimiler ce "A/I" (je trouve toujours ambigu dans mon esprit) ce qui me permettra de faire la démo comme un grand

[Ben314]

x = 2u + w - 5p
y = 2v + p + w

ben... continue...
C'est un système de 2 équations à 4 inconnues (u,v,w,p mais qui doivent être entiers) avec 2 paramètres x,y (entiers) et tu cherche quand est-ce qu'il y a au moins une solution.

[Lostounet]

(S): x - w = 2u - 5p
y - w = 2v + p

Je vais tenter de résoudre les équations diophantiennes pour x et y donnés. Il y a des solutions car pgcd(2,5)=1
et pgcd(2,1) = 1

Posons k = x - w
k' = y - w

k = 2u - 5p
Donc:
p = k + 2n et u = 3k + 5n (n décrivant Z)

Par conséquent: p = x - w + 2n et u = 3x - 3w + 5n

k' = 2v + x + 2n

Trop d'inconnues... C'est pas la bonne méthode je pense.

[Ben314]

(S): x - w = 2u - 5p
y - w = 2v + p
C'est pas la bonne méthode je pense.

Ca, effectivement, de chercher à résoudre les morceaux de l'équation où il y a des coefficients devant les inconnus alors qu'il y a plusieurs inconnues où il y a gentiment un coeff. égal à 1 (donc inversible dans Z) devant, c'est sûr et certain que c'est pas malin...

Par exemple, partant de x = w + 2u - 5p, ça me semblerais un tout petit peu plus subtil de dire que ça signifie que
w = x - 2u + 5p (si x,u et p sont entiers, w sera forcément entier...) et d'en déduire qu'il n'y a que l'autre équation à résoudre (après substitution, bien sûr)

[Lostounet]

Désolé je suis pas très doué

Je trouve: 2v + 6p - 2u = y - x
Cela donne une idée de la parité de y - x mais je pense pouvoir résoudre ...?

[Ben314]

2(v + 3p - u) = y - x

Ben c'est clairement fini :
- Si y - x est impair, il y a évidement pas de solutions.
- Si y - x est par il y a évidement une infinité de solution à v + 3p - u = (y - x)/2 [on peut prendre p et v au pif puis prendre u = v + 3p - (y - x)/2 qui est bien entier]

Bilan :
Tu en déduit qu'il y a combien d'éléments (et lesquels) dans ?

[Lostounet]

Oui je comprends jusqu'ici... mais c'est le A/I1 que je ne comprends pas super bien.
Pour moi, dire que y - x congru à 0 [mod 2], c'est dire que x et y sont de même parité

On dirait que j'ai "partitionné" le réseau Z^2 en deux "familles": "impairs x impairs"
et "pairs x pairs" d'une part et "pair x impair" / "impair x pair" d'autre part.

Est-ce que c'est vaguement.. ça l'anneau quotient?

[Robot]

Comment peut-on voir ces histoires de quotient ?
Pour employer un vocabulaire violent, quotienter par un idéal c'est tuer les éléments de cet idéal, c.-à-d. les forcer à être égaux à (il suffit de le faire pour un système générateur de l'idéal.
c'est (on force à être égal à ). Ensuite on tue encore (on tue donc ) et . On se retrouve avec dans lequel on tue , et . Commençons par tuer , on se retrouve avec dans lequel on tue et , qui est la même chose modulo que , qui est la même chose modulo que . Il suffit donc de tuer dans , c.-à-d. forcer à être égal à , ou c'est kif-kif, et au final quand on a tué tout le monde il ne reste plus que . C'est le quotient, et il est intègre (c'est même un corps, ce qui montre que l'idéal est maximal).

[Lostounet]

Bonjour Robot, et tout d'abord merci pour ta réponse que j'ai lue ce matin.

Tout d'abord, lorsque tu dis "Z[i√5]" c'est "Z[X]/(X^2+5)" tu veux dire qu'ils sont isomorphes?
Si je considère le polynôme X^3 + X^2 + 5, puis-je donc dire qu'il est "congru à X^3 modulo [i√5]" ? (C'est flou)

Peux-tu expliciter cet isomorphisme s'il y a lieu?

Ensuite j'ai compris jusqu'à Z/2Z... Il est intègre car si "ab = 0" alors au moins un des deux est "pair" c'est cela?

C'est un corps ok, I1 est maximal... je comprends ce point un peu moins.
Cela veut dire qu'il n'existe aucun idéal "plus gros que lui" parce que...

[Robot]

Quel est le noyau du morphisme surjectif qui envoie sur ?

Si je considère le polynôme X^3 + X^2 + 5, puis-je donc dire qu'il est "congru à X^3 modulo [i√5]" ?

Non, modulo .

[Ben314]

Oui je comprends jusqu'ici... mais c'est le A/I1 que je ne comprends pas super bien.

La définition de A/I1 c'est les classe d'éléments de A modulo la relation xRy ssi x-y est dans I1.
Donc les éléments de A/I1, c'est des parties de A de la forme a+I1={a+x où x est dans I1} et c'est assez souvent sous cette forme que c'est le plus pratique à manipuler.
Par exemple, pour déterminer A/I1 une autre façon un peu moins bourrin que de déterminer les "équations cartésiennes" de , mais moins théorique que ce que fait Robot, ça serait d'écrire que :
- Comme on a (le neutre additif de ) donc et donc, pour tout élément , on a .
- Ensuite, vu que on a donc si on écrit avec on a .
Cela montre a moindre frais que contient au plus deux classes, à savoir et .
Par contre, il reste à montrer que , (c'est à dire que soit encore que ) pour en déduire que

On dirait que j'ai "partitionné" le réseau Z^2 en deux "familles": "impairs x impairs"
et "pairs x pairs" d'une part et "pair x impair" / "impair x pair" d'autre part.

Oui, c'est très exactement ça : si tu as un ensemble quelconque E par une relation d'équivalence R, les éléments de E/R sont les classes d'équivalence suivant R et elles forment une partition de E.

[Robot]

moins théorique que ce que fait Robot

Je proteste .

Ce que j'essaie de communiquer à Lostounet, c'est justement une vision un peu plus pratique du quotient. Le fait que les éléments de A/I soient des parties de A, c'est un épiphénomène, et je suis sûr qu'au fond Ben314 ne pense pas qu'il manipule des parties de quand il fait du calcul modulaire .
Ce qui compte bel et bien, c'est cette idée que quotienter par I veut dire "tuer" I (forcer les éléments de I à être nuls) ; si l'on veut formaliser c'est le fait qu'un morphisme d'anneaux de A/I dans B, c'est juste un morphisme de A dans B dans lequel tous les éléments de I deviennent nuls. C'est comme ça que le quotient fonctionne, et c'est en se familiarisant avec cette idée qu'on apprend à s'en servir sans peur.

[Lostounet]

Bonjour,
Merci pour vos réponses.

Prenons par exemple:
Z[i]/(2) ... c'est quoi cet anneau quotient?

Si je suis vos idées, on veut "tuer les éléments de l'idéal (2)", donc les forcer à être nuls.

(2) = {2(x + iy) / x et y relatifs}
= {2x + 2iy / x et y relatifs}

Il s'agit de tous les éléments de Z[i] pouvant s'écrire avec (x;y) pair.
Donc l'anneau quotient Z[i]/(2) comporte ... 2 classes d' éléments?

[Ben314]

Donc l'anneau quotient Z[i]/(2) comporte ... 2 classes d' éléments?

Ben... non...
Ca te dit au fond que seul la parité de x et de y compte, sauf que des "couples de parité", y'en a pas 2 mais ...

Autre façon de voir les choses :
La classe de 0, c'est l'idéal (2), c'est à dire l'ensemble des x+iy avec x et y pairs.
Comme 1 est impair, 1+0i n'est pas dans l'idéal (2). La classe de 1, c'est quoi ?
Est ce que la réunion (forcément disjointes) des classes de 0 et de 1 est égale à l'anneau tout entier ?
Donc ?

[Lostounet]

Il y en a 4 ...

[Lostounet]

Z[i]/(5) ce serait par exemple

(5) = {5(x + iy)/ x, y relatifs}

(5) = {5x + 5iy /x, y relatifs}

Tous les (x;y) multiples de 5 sont morts dans Z[i]/(5)
Il y'aurait ici ... 25 éléments?

x {0,1,2,3,4} mod 5
y {0,1,2,3,4} mod 5

et seule (0,0) parmi les 5x5 autres fait l'affaire.
Ai-je bien compris

[Pseuda]

moins théorique que ce que fait Robot

Je proteste .

Ce que j'essaie de communiquer à Lostounet, c'est justement une vision un peu plus pratique du quotient. Le fait que les éléments de A/I soient des parties de A, c'est un épiphénomène, et je suis sûr qu'au fond Ben314 ne pense pas qu'il manipule des parties de quand il fait du calcul modulaire .
Ce qui compte bel et bien, c'est cette idée que quotienter par I veut dire "tuer" I (forcer les éléments de I à être nuls) ; si l'on veut formaliser c'est le fait qu'un morphisme d'anneaux de A/I dans B, c'est juste un morphisme de A dans B dans lequel tous les éléments de I deviennent nuls. C'est comme ça que le quotient fonctionne, et c'est en se familiarisant avec cette idée qu'on apprend à s'en servir sans peur.

Bonsoir,
Je ne dirais pas "tuer", je dirais "écraser" tous les éléments d'une classe en un seul, parce que leur différence ne nous intéresse pas. "Tuer" donne l'impression qu'un élément est plus important que tous les autres (on ne garde que celui-là), ce n'est pas le cas, ils sont tous équivalents.

[Ben314]

Z[i]/(5)
Il y'aurait ici ... 25 éléments ? <= Oui
et seule (0,0) parmi les 5x5 autres fait l'affaire. <= Je comprend pas ce que tu entend par "faire l'affaire"