Base et dimensions

[pluie2]

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour cet exercice :

Soit F={(3x-2y,x+2y,-2x+y)/(x,y)eR²)}. Montrer que F est un sous espace vectoriel et en déterminer une base et une dimension. On pose u=(1,3,-1), v=(5,-1,-3) et w=(-2,2,2). Montrer que (u,v) est une base de F. (u,w) est elle une base de F ?

j'ai fait la méthode classique pour montrer que F était un ss espace vectoriel donc ça c'est bon. Pour démontrer que c'est une base, j'ai résolu le système :
3x-2y=0
x+2y=0
-2x+y=0

et j'ai trouvé que x=y=0.
Pour la dimension, j'ai trouvé que dim(F)=1

Pour montrer que (u,v) était une base de F j'ai dit que : u=vect1+vect2 et v=vect1-vect2 avec vect1 et vect2 les réponses du a). cela est il suffisant? faut il faire autre chose ?

du coup pour (u,w) je n'ai pas trouvé que w=avect1+bvect2 donc j'en ai déduit que ce n'était pas une base de F

merci!

[chan79]

Salut
w n'a pas l'air d'être un vecteur de F.
C'est pas (-2,2,1) ?

[pluie2]

non c'est bien ce que j'ai écrit. Donc du coup comme ce n'est pas u vecteur de F je peux directement en déduire que ce n'est pas une base ?

et pour u et v comment je peux démontrer ? ma dimension est elle bonne?

[chan79]

non c'est bien ce que j'ai écrit. Donc du coup comme ce n'est pas u vecteur de F je peux directement en déduire que ce n'est pas une base ?

et pour u et v comment je peux démontrer ? ma dimension est elle bonne?

oui, je reprends. Désolé
w n'est pas un vecteur de F donc (u,w) ne peut pas être une base de F.
F est le sous espace vectoriel engendré par (3,1,-2) et (-2,2,1). Il est bien de dimension 2 puisque ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Pour u et v, tu peux démontrer qu'ils sont des combinaisons linéaires de (3,1,-2) et (-2,2,1). Et comme ils ne sont pas colinéaires ...

[pluie2]

donc pour u et v j'ai dit que : u=vect1+vect2 et v=vect1-vect2 avec vect1 et vect2 les réponses du a)

pour les combinaisons linéaires je dois faire comment?

[chan79]

donc pour u et v j'ai dit que : u=vect1+vect2 et v=vect1-vect2 avec vect1 et vect2 les réponses du a)

pour les combinaisons linéaires je dois faire comment?

La dimension de F est 2.
Si tu montres que u et v sont deux vecteurs de F non colinéaires, c'est bon.

[pluie2]

u=(1,3,-1), v=(5,-1,-3)

F={(3x-2y,x+2y,-2x+y)/(x,y)eR²)}

u et v sont deux vecteurs de F car u=vect1+vect2 et v=vect1-vect2
u.v=5-3+3=5 non colinéaires donc (u,v) est une base de F.

u.w=(1,3,-1).(-2,2,2)=-2+6-2=6 non colinéaires mais w ne pet s'exprimer en fonction de vect 1 et vect 2 donc ce n'est pas une base

[chan79]

u=(1,3,-1), v=(5,-1,-3)

F={(3x-2y,x+2y,-2x+y)/(x,y)eR²)}

u et v sont deux vecteurs de F car u=vect1+vect2 et v=vect1-vect2
u.v=5-3+3=5 non colinéaires donc (u,v) est une base de F.

u.w=(1,3,-1).(-2,2,2)=-2+6-2=6 non colinéaires mais w ne pet s'exprimer en fonction de vect 1 et vect 2 donc ce n'est pas une base

ça devrait aller :zen:

[pluie2]

ok merci :)