Produit vectoriel en n dimensions

[niluge89]

Bonjour

Est ce qu'il existe une généralisation du produit vectoriel en n dimensions ?
Ce serait pour trouver un vecteur normal d'un hyperplan, connaissant autant de points que je veux, mais pas l'équation.

Merci

[Matthieu Lochot]

Bonjour

Est ce qu'il existe une généralisation du produit vectoriel en n dimensions ?
Ce serait pour trouver un vecteur normal d'un hyperplan, connaissant autant de points que je veux, mais pas l'équation.

Merci

Bonjour

Ce ne serait pas le déterminant d'un système de vecteurs de l'hyperplan de dimension n-1 multiplié par un vecteur normal à l'hyperplan et unitaire choisi en fonction de l'orientation de l'espace.

[niluge89]

En fait, je cherche une formule qui me donne un vecteur normal.
En 3D il y a une formule du produit vectoriel qui donne directement un vecteur normal en connaissant les coordonnées de 2 vecteurs du plan. Je voudrais savoir si cette formule se généralise.

[Maxmau]

En fait, je cherche une formule qui me donne un vecteur normal.
En 3D il y a une formule du produit vectoriel qui donne directement un vecteur normal en connaissant les coordonnées de 2 vecteurs du plan. Je voudrais savoir si cette formule se généralise.

bonjour
V1 , V2 , ….., Vn-1 une base de l’hyperplan vectoriel
Le vecteur X appartient à cet hyperplan ss det(X,V1,V2,……,Vn-1)=0
En développant suivant la première colonne (en base orthonormée) on obtient l’équation développée de l’hyperplan . Le vecteur dont les coordonnées sont les coefficients de cette équation (ce sont des déterminants) est orthogonal à l’hyperplan.

[niluge89]

C'est bien ça qu'il me faut
merci :)

[Maxmau]

C'est bien ça qu'il me faut
merci

D’une façon un peu plus théorique : généralisation du produit vectoriel
E un espace euclidien réel de dimension n
Rappel : le déterminant de n vecteurs est le même dans toute BOD (base orthonormée directe) . Notation : det (V1,V2,…….,Vn)
Il n’est pas difficile de montrer que :
A tout n-uple de vecteurs (V1,V2,…….,Vn-1) on peut associé un unique vecteur (notons le (V1,V2,…….,Vn-1) tel que : quels que soient V1,V2,…….,Vn
det (V1,V2,…….,Vn) = ( est le produit scalaire)

propriétés du vecteur (V1,V2,…….,Vn-1)
- il est orthogonal à V1,V2,…..,Vn-1
- Si E1,E2,……,En est une base orthonormée directe
(V1,V2,…….,Vn-1) = det(V1,V2 ,….,Vn-1,Ei)Ei