Espaces de + de 3 dimensions

[mathador]

Bonjour !
Je me suis posé une question qui dépasse malheureusement mon niveau. Elle est assez confonse, et je vous prie par avance de m'en excuser. Voici le problème :
On connait pour les espaces à 2 dimensions la formule de la distance entre 2 points A(xa;ya) et B(xb;yb) : Racine de [(xa-xb)²+(ya-yb)²] avec les conditions qu'on imagine.
Pour les espaces à 3 dimensions, on rajoute (za-zb)² sous la racine ... Et là, forcément, on est tenté de généralisé comme suit :
On considère les poins A(a1;a2;...;an) et B(b1;b2;...;bn)
AB = Racine de [Somme de k=1 à n des (ak-bk)²] (l'absence des émoticones mathématiques est regrettable...).
Cela fonctionne pour 1, 2 et 3 dimensions ... voici donc ma question : cela est-il valable pour les espaces à 4 dimensions et plus ? Cette formule s'applique sur Pythagore en repère orthonormal, mais cela a-t-il un sens pour 4 dimensions ? Ce problème m'en amène d'autres : La géométrie euclidienne en général est-elle valable pour un nombre quelconque de dimensions ? La notion même de distance a-t-elle un sens dans ce cadre ? Quid de la norme d'un vecteur ? Bref, ma question est ouverte, et tout éclairement serait le bienvenu ...
Merci d'avance à toutes et à tous

[Anonyme]

Salut,


>>>> cela est-il valable pour les espaces à 4 dimensions et plus

Bien sûr. En termes "techniques", sur IR^n, tu prends X = (x1, .., xn), tu poses ||X|| = sqrt(sum xi²). Ca donne une "norme" et ||X-Y||=sqrt (sum (xi-yi)²) donne une distance (euclidienne ;) ) entre les points X et Y.

>>>> La géométrie euclidienne en général est-elle valable pour un nombre quelconque de dimensions

A prioiri on réserve le terme "Euclidien" pour la dimension finie quelconque (sur IR mais peu importe).

On peut même faire de la "géometrie" sur des espaces de dimension non finie (et même sur C) avec des propriétés analogues (les espaces de Bébert). Tu verras ça dans un an ou deux ;)

[mathador]

Merci beaucoup ! Le seul problème à présent est que je suis impatient d'être plus vieux ;)
Amicalement