Avec une fonction croissante

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit f une application croissante de dans . Soit E l'ensemble :



1/ Démontrer que E possède une borne supérieure b.
2/ Démontrer que

Toute partie non vide et majorée de admet une borne supérieure.
E est majorée dans car : ici
Je dois montrer que E est non vide. Je n'ai pas réussi.

[hdci]

Bonjour,

ne serait-il pas supérieur ou égal à ?

[mehdi-128]

Bonjour,

ne serait-il pas supérieur ou égal à ?

Ah bah oui f est à valeur dans donc :

Pour la question 2 je n'ai pas d'idée

[aviateur]

Bonjour
Déjà En effet, sinon f(b)<b. Mais alors il existe tel que et on aurait Ce qui est contradictoire avec la croissance de f.
Ensuite essaye au moins de faire un pas, i.e dis quelque chose sur la suite à faire...

[Pseuda]

Bonsoir,

Fais un dessin pour voir ce qu'il se passe, et essaie simplement d'appliquer les hypothèses (sans essayer de rien démontrer).

On prend x > b : que peut-on en déduire au vu des hypothèses ? Eh bien que x n'appartient pas à E (car b est un majorant de E), donc f(x) < x. f est croissante : donc x > b => f(x) > f(b). On a donc : x > f(x) > f(b).
On obtient : pour tout x > b, x > f(b). C'est donc qu'on a b >= f(b) (fais un dessin sur une ligne droite, et on obtient une contradiction avec une démonstration par l'absurde).

[infernaleur]

Bonsoir,

Fais un dessin pour voir ce qu'il se passe, et essaie simplement d'appliquer les hypothèses (sans essayer de rien démontrer).

On prend x > b : que peut-on en déduire au vu des hypothèses ? Eh bien que x n'appartient pas à E (car b est un majorant de E), donc f(x) < x. f est croissante : donc x > b => f(x) > f(b). On a donc : x > f(x) > f(b).
On obtient : pour tout x > b, x > f(b). C'est donc qu'on a b >= f(b) (fais un dessin sur une ligne droite, et on obtient une contradiction avec une démonstration par l'absurde).

Salut,
juste une petite remarque, le raisonnement marche si b est différent de 1 (sinon on aurait x>1 et f(x) n'est pas définie).

[Pseuda]

Salut,
juste une petite remarque, le raisonnement marche si b est différent de 1 (sinon on aurait x>1 et f(x) n'est pas définie).

En effet, si b=1, f(b)=f(1)<=1 donc on a aussi f(b)<=b.
Petite remarque aussi : dans tous les cas, b <= 1, car 1 est un majorant de E, et b est le plus petit des majorants de E.

[Pseuda]

Bonjour
Déjà En effet, sinon f(b)<b. Mais alors il existe tel que et on aurait Ce qui est contradictoire avec la croissance de f.
Ensuite essaye au moins de faire un pas, i.e dis quelque chose sur la suite à faire...

Ce qui me gêne dans cette démonstration, c'est que x < b n'implique pas (ou il faut le montrer) que x appartient à E, et donc on ne peut pas en déduire que x <= f(x).

[aviateur]

Bonsoir
@pseuda relie bien. je dis "mais alors il existe x appartenant a E" tel que f(b)<x<b.
(n'oublie pas que b=sup(E).)
D'autre part, ce n'est qu'un début de démo. Je n'ai même pas chercher à aller voir + loin.
Ce que j'invite à faire faire à @medhi c'est d'avancer, ne serait-ce qu'un peu.
C'est exactement ce que je fais ici. Bien sûr on peut (et on devrait) faire un dessin.
Mais même sans dessin, il faut avancer. Toujours dire je n'ai pas d'idée c'est pas possible, c'est pas comme ça que l'on fait des math.

[Pseuda]

Bonjour,

Oui. Pour éliminer l'ambiguïté, on peut dire : "f(b) < b, donc il existe x appartenant à E tel que f(b) < x <= b". Cela n'enlève rien à ta démonstration, mais permet de traiter du même coup le cas où E={b} (dans ce cas, il n'existerait pas x dans E tel que x < b).

Sinon, je suis d'accord avec toi, pour faire des maths, il faut chercher un minimum, c'est-à-dire il faut un minimum de persévérance et de questionnement. Au vu des questions que @mehdi-128 pose ici à répétition, on est en droit d'avoir des doutes sur ses capacités à faire des maths.

[aviateur]

Rebonjour @pseuda oui mais plutôt non. Tu ajoutes un égal à mon raisonnement comme si j'avais fait une petite
erreur, i.e tu mets à la place de
Mais je fais un raisonnement par l'absurde qui commence par si ...
donc un élément coincé entre f(b) et b ne peut pas être égal à b.

Concernant @medhi, je pense que la façon dont il travaille n'est pas rentable du tout. Cela me semble contre productif. Il devrait en faire moins mais mieux.
Si on prend l'exemple de cet exercice (qui n'est pas fini) il doit absolument dire des choses même s'il ne trouve pas la solution. De toute façon on pourra l'aider à finir mais i faut avancer par soi même.

Je ne sais pas mais on a démontré que b appartient à E donc Ensuite? alors? quoi?
La balle est dans son camp. Il doit la renvoyer si possible dans le terrain.

[mehdi-128]

Alors pour le premier cas :

Si
Comme f est croissante sur alors soit

Mais ce qui est contradictoire avec car comme on devrait avoir
Contradiction.

Pour le deuxième cas :
Si
D'après la caractérisation de la borne supérieure comme


Prenons



Par croissance de f :

Or,

Donc

On a donc : et

Contradiction.

Conclusion :

[hdci]

Avec juste un point :

Comme f est croissante sur alors donc

Ceci est vrai si est strictement croissante, mais sans la précision "strictement", on n'a pas autre chose que . On obtient ici directement

[aviateur]

Oui
@mehdi. Tu essayes d'avancer c'est une bonne chose. Mais maintenant il faut être très précis, les math c'est ça.
Comme le dit @hdci l"hypothèse c'est f est croissante (et non pas strictement croissante). Tu fais une erreur. Il faut reprendre ton raisonnement ....

[mehdi-128]

J'ai vu !
Mais du coup, ça change rien au raisonnement, c'était juste une erreur.

[aviateur]

Oui on dirait que ça tient la route mais je n'ai pas tout lu. alors corrige le texte et puis on verra.

[Pseuda]

@aviateur. Je n'ai pas dit que tu avais fait une erreur, mais de mettre <=b ne change rien à la démonstration, tandis que de mettre <b fait se poser 36 questions pour rien. Mais d'un autre côté tu as raison, c'est plus juste et plus précis.