Autour de la continuité

[Aleatoire]

Bonjour , je bloque toujours sur cette question.

Comment montrer qu'une fonction de R+ a R continue et ayant une limite finie en +infini , admet un maximum ou un minimum absolu, mais pas necessairement les deux !

[LB2]

Attention à la distinction entre la notion de majorant/minorant et de maximum/minimum.

1. Si f vérifie ces hypothèses alors f est bornée sur R+ (cela se montre en raisonnant avec des epsilon, en revenant à la définition de la limite)

2. Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes, donc f admet un maximum ou un minimum absolu (raisonner par l'absurde par exemple)

3. Pas nécessairement les deux, on peut avoir le cas où f(x)=1/(x+1) par exemple, décroissante, toujours strictement positive, 1 est maximum absolu mais f n'admet pas de minimum sur R+.