Automorphismes orthogonaux

par **sensor** » 19 Mai 2007, 18:55

Bonjour, je suis un peu bloqué devant un exercice d'algèbre,car je n'ai pas encore bien digéré la notion d'automorphisme orthogonal.

Voici l'énoncé :
Soit SMn(R) (ensembles des matrices carrés d'ordre n réel) telle que
(transposée)S=-S et I+S GLn(R) (ensembles des matrices inversibles d'ordre n).
On pose T=(I-S)(I+S)^-1
Montrer que I-S GLn(R) et que T O(n) (ensemble des matrices orthogonales d'ordre n).

Comme je n'ai pas assez de recul je vous demande votre aide.
Merci.

par **Joker62** » 19 Mai 2007, 19:03

Salut ;)

Une matrice A est orthogonale si tA.A = I

par **yos** » 19 Mai 2007, 19:04

I-S est la transposée de I+S d'où...
Pour la deuxième question, il suffit de calculer

par **Daniel-Jackson** » 19 Mai 2007, 19:05

Salut sensort ,

Pour I-S GLn(R) : c'est avec le déterminant :

La transposée de I- S est I+S qui est inversible , donc de déterminant non nul .
Donc det( I-S ) = det (I+S) qui est différent de 0 car I+S est inversible, donc I-S est aussi inversible , donc dans GLn(R) .

Pour T O(n) , il faut montret que Trasposée (T) * T = T*Ttransposée(T) = Id

C'est un simple calcul à faire en utlisant le fait que l'inversibilité et la transposée commutent .

par **kazeriahm** » 19 Mai 2007, 19:06

(I+S)*(I+S)^-1=I donc en transposant ceci, tu obtiens, en utilisant le fait que transposée(S)=-S, que I-S est inversible.

par **Joker62** » 19 Mai 2007, 19:12

4 messages en 3 minutes
C'est pas mal quand même :)

par **sensor** » 19 Mai 2007, 19:20

merci pour les réponses.
Je vais revoir le cours sur les transposées et je mettrais la réponse à la 2ème question.(qui me semble déjà posté)(je reviens après le dîner)
wait and see

par **sensor** » 19 Mai 2007, 19:46

transposée(T)= (I-S)^-1*transposée(I-S)
d'ou transposée(T)*T=(I-S)(I-S)(I-S)(I+S)^-1
Je n'arrive pas à In

par **kazeriahm** » 19 Mai 2007, 19:59

I+S et I-S commutent

par **sensor** » 19 Mai 2007, 20:28

j'ai essayé, mais je n'y arrive pas surement une étourderie dont je suis habitué.

par **Joker62** » 19 Mai 2007, 20:29

Faut se rappeler que Transposée(AB) = Transposée(B)Transposée(A)

par **sensor** » 19 Mai 2007, 20:36

ça y'est j'ai trouvé c'était en effet une étourderie un moins qui s'est transformée en plus .
on a transposée(T)=(I+S)(I-S)^-1
donc t(T)*T=T*t(T)=In
DOnc la matrice est inversible dont TO(n).
Pardon pour n'avoir pas vu cette stupide erreur.
Merci de confirmer.

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