Automorphismes

[Victhemath]

Bonsoir, je dois déterminer tous les automorphismes de (Q, +, *) quelqu'un pour m'aider ?

[L.A.]

Bonsoir.

Ca ira vite, il n'y en a qu'un seul...

[morpho]

Bonsoir, je dois déterminer tous les automorphismes de (Q, +, *) quelqu'un pour m'aider ?

Automorphisme
f(x+y) = f(x)+f(y)
f(xy) = f(x)f(y)
1. On commence par chercher dans N
f(1 + 0) = f(1) + f(0) ==> f(0) = 0
f(1.1) = f(1)f(1) ==> f(1)=1
f(2) = f(1+1)=2f(1)=2 ===> f(n) = n
f(1) = f(n/n) = f(n)f(1/n)=nf(1/n)=1 ==> f(1/n)=1/n

f(p/q) = p/q ==> f =identitééééééé

[Victhemath]

Merci beaucoup ;)

[Victhemath]

Désormais, j'ai la même question avec Z:

Déterminer tous les automorphismes de l'anneau Z.

C'est quoi un inverse de f(x)*g(x)^(-1) ?

[morpho]

f(0) = 0 , f(1)=1
f(1-1) = f(1) +f(-1) = 1+f(-1) =0 ===> f(-1) = -1
f(-n) = f(-1.n) = f(-1).f(n) = -n ===> f =identité

C'est quoi un inverse de f(x)*g(x)^(-1) ?

préciser l'écriture ...

[Victhemath]

Merci beaucoup ! :)

Dans un autre exercice, j'ai l'identité qui est le seul automorphisme de (R, + , *)
je dois justifier que f restreint à Q est égal à idQ, la question est simple non ? je dois simplement parler de sous-corps de R et de stabilité de la loi + et * non ?

[L.A.]

Dans un autre exercice, j'ai l'identité qui est le seul automorphisme de (R, + , *)
je dois justifier que f restreint à Q est égal à idQ

A ce stade, qui est ce f ? Si c'est l'identité, alors oui c'est clair, mais si c'est un automorphisme quelconque de R et que tu cherches à prouver au final que f=id_R, alors ça découle d'un calcul semblable à celui fait plus haut (déterminer f(1), puis f(n), puis f(1/n), etc...)

[morpho]

Merci beaucoup !

Dans un autre exercice, j'ai l'identité qui est le seul automorphisme de (R, + , *)
je dois justifier que f restreint à Q est égal à idQ, la question est simple non ? je dois simplement parler de sous-corps de R et de stabilité de la loi + et * non ?

1. si f est le seul automorphisme de (R,+,x) alors f restreint à Q est un Q-automorphisme, mais ça ne prouve pas que f est le seul Q-auto. Le calcule précedent prouve que id est le seul Q-auto

2. Pour montrer que (R,+,x) possède un seul R-auto , on montre d'abord id est un Q-auto comme précédent. Puis utiliser:

x réel c'est la limite d'une suite rationnelle
u(n) -> x qd n-> infini
f(u(n)) -> f(x) car f continue
u(n) -> f(x) ====> x = f(x) ===> f=id,,, R-auto la seul

[Rha]

1. si f est le seul automorphisme de (R,+,x) alors f restreint à Q est un Q-automorphisme, mais ça ne prouve pas que f est le seul Q-auto. Le calcule précedent prouve que id est le seul Q-auto

2. Pour montrer que (R,+,x) possède un seul R-auto , on montre d'abord id est un Q-auto comme précédent. Puis utiliser:

x réel c'est la limite d'une suite rationnelle
u(n) -> x qd n-> infini
f(u(n)) -> f(x) car f continue
u(n) -> f(x) ====> x = f(x) ===> f=id,,, R-auto la seul

Comment sait-on que est continue?

[L.A.]

Comment sait-on que est continue?

On n'utilise pas directement la continuité, on montre que f est croissante en vérifiant que x>0 implique f(x)>0 pour tout x réel.
Ensuite, à partir de f|_Q = id_Q, on en déduit que f=id.

[morpho]

Comment sait-on que est continue?

On peut montrer que f est continue !!!!!

[Rha]

On peut montrer que f est continue !!!!!

Oui, mais je pense que dans la rédaction de l'exercice, la justification de la continuité est la partie la plus importante de la démonstration.

[morpho]

Oui, mais je pense que dans la rédaction de l'exercice, la justification de la continuité est la partie la plus importante de la démonstration.

Oui, tu as raison, dans ce cas je te laisse faire cette partie !!!

[L.A.]

:marteau:

Encore une fois (j'insiste, pardon) je crois qu'il vaut mieux utiliser la croissance en lieu et place de la continuité. Et surtout, je ne vois pas comment prouver la continuité sans montrer entre-temps que f est l'identité de R dans R.

- clairement f|_Q = id_Q
- clairement aussi f est croissante (montrer que x>0 implique f(x)>0)
- on en conclut (par un argument du type "suites adjacentes") que f = id_R

Y'a-t-il jamais eu démonstration plus limpide ? :zen: