Aut (Z/2Z x Z/2Z) non commutatif

[RadarX]

Bonjour,

Un groupe G peut etre commutatif sans que ne le soit./
Exemple : il suffit de prendre.

Qui vois ca? i.e. Comment Aut (Z/2Z x Z/2Z) non commutatif?

Merci.

[El_Gato]

G n'est pas trop compliqué, c'est . Prends cela comme un petit exo: construit quelques automorphismes et compose les.

[RadarX]

G n'est pas trop compliqué, c'est . Prends cela comme un petit exo: construit quelques automorphismes et compose les.

J'ai appris a me mefier des petits exos;
Je suis entrain de faire ce que tu me proposes; mais quelle est la tete generale d'un automorphisme de ?

[Yipee]

Il suffit d'essayer de le construire à la main. Il n'y a que 4 éléments dans Z/2Z x 2/2Z qui sont (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Il faut déterminer l'image de chacun de sorte que ce soit un automorphisme... Il y en a 6 en tout.

[Vedeus]

Le groupe des automorphismes de
est isormorphe au groupe de permutations
.

Pour le voir, on a remarque que l'action des automorphismes
de sur les couples différents de
définit un homomorphisme injectif
.

Pour prouver que c'est un isomorphisme, il suffit de savoir que
admet 6 éléments.
Pour cela, on peut remarquer que les automorphismes du groupes
sont les automorphismes du -espace vectoriel
: il y en a donc autant que de bases de ce dernier :
c'est à dire 3 x 2 (trois possibilités pour choisir un premier vecteur non nul, et
2 possibilités pour choisir ensuite un deuxième vecteur non colinéaire au premier).