Aut(G1xG2) = Aut(G1)xAut(G2) ?

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Dyo
Membre Relatif
Messages: 124
Enregistré le: 14 Sep 2007, 12:24

Aut(G1xG2) = Aut(G1)xAut(G2) ?

par Dyo » 29 Oct 2007, 20:32

Bonjour,

Voici ce que j'ai à démontrer :

Soient G1, G2 deux groupes finis dont leur ordre sont premiers entre eux.
Montrer que Aut(G1xG2) est isomorphe à Aut(G1)xAut(G2).

J'ai du mal à voir comment faire intervenir l'ordre des groupes (leur cardinal) dans la démonstration. Je remercie la personne qui pourrait m'éclairer sur ce point déjà :p



Lierre Aeripz
Membre Relatif
Messages: 276
Enregistré le: 14 Mai 2007, 19:31

par Lierre Aeripz » 29 Oct 2007, 21:15

On a le morphisme , où .
C'est bien un morphisme, et il est injectif. N'espère pas finir en utilisant un argument sur les cardinaux. Il faut montrer la surjectivité.

Soit un automorphisme de .
On note et les applications coordonnées (i.e. : et ).
Ces applications sont des morphismes. On note . et sont aussi des morphismes.

Il s'agit de montrer que ne dépend pas de sa seconde variable et que en dépend de sa première variable. C'est à dire que , et idem pour K.

Soit .
On note p (resp. q) l'ordre de H (resp. de K). Dans un groupe d'ordre n,
On a up + vq = 1, avec u et v entiers bien choisis.
.
D'où
Donc

Comme est un isomorphisme, on a .
Donc est bien de la forme

Dyo
Membre Relatif
Messages: 124
Enregistré le: 14 Sep 2007, 12:24

par Dyo » 29 Oct 2007, 21:58

Ok merci, j'ai beaucoup cherché, je pense que j'aurais eu du mal à trouver la surjectivité seul...

J'ai repris ta démo au propre, j'ai compris le raisonnement maintenant merci :p

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 64 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite