Aut(Dn) = Z/n x U(Z/n) ?

[Dyo]

Bonjour,

J'ai du mal à commencer cette question:
Montrer que Aut(Dn) est isomorphe au produit semi-direct Z/n x U(Z/n),
où U(Z/n) est le groupe des inverses de Z/n.

Je pense qu'il faut distinguer 2 cas (n premier, et n non premier), car U(Z/n)
change en fonction de ces cas. Mais comme Z/n et U(Z/n) ne sont pas des
sous groupes de Aut(Dn) j'ai du mal à définir une application de
Aut(Dn) dans Z/n x U(Z/n).

Si quelqu'un pouvait me donner un ptit coup de pouce pour la définition de
l'application entre ces 2 groupes, ce serait sympa :p

Déjà comment est caractérisé Aut(Dn) ?

Merci bien !

Dyo

[yos]

Bonjour.
est engendré par une rotation r d'ordre n et une symétrie s. De plus (à vérifier).
Un automorphisme f de est caractérisé par son action sur r et sur s.
f(r) et f(s) sont d'ordre n et 2 respectivement, d'où le peu de possibilités.

[Dyo]

D_n est engendré par une rotation r d'ordre n et une symétrie s. De plus rs=sr^{n-1} (à vérifier).

Ca c'est bon.

Un automorphisme f de D_n est caractérisé par son action sur r et sur s.
f(r) et f(s) sont d'ordre n et 2 respectivement, d'où le peu de possibilités.

Je suis d'accord. Le peu de possibilité me perturbe car On a quand même n*(n-1) éléments de Aut(Dn) si n est premier ...

[yos]

Faut-il vraiment distinguer des cas?
f(r) est une rotation d'ordre n, or dans le groupe cyclique , il y a rotations d'ordre n et ce sont les seules de .
f(s) est l'une des n symétries de .


devrait coller.

[Dyo]

Ah oui j'avais pas pensé à écrire f(s)=sr^k.

En fait dans la question d'avant pour montrer que Dn était isomorphe
au produit semi direct Z/n x Z/2, j'avais posé Phi(r^{p}s^{k}) = ([p],[k]).

J'ai mélangé un peu avec la question d'avant c'est pour ca que j'étais bloqué :p
Merci du coup de pouce ^^

Dyo