[MPSI] associativite de la difference symetrique

[Anonyme]

Salut,

On définit la différence symétrique comme ceci :
A_B = (A-B) union (B-A)
= (A union B) - (A inter B)

Peut-on montrer (A_B)_C = A_(B_C) sans développer bêtement
(A_B)_C et A_(B_C) avec pleins de calculs ?


Merci.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

"Michel" a écrit

> On définit la différence symétrique comme ceci :
> A_B = (A-B) union (B-A)
> = (A union B) - (A inter B)
>
> Peut-on montrer (A_B)_C = A_(B_C) sans développer bêtement
> (A_B)_C et A_(B_C) avec pleins de calculs ?

Soit f[A] est la fonction caractéristique de A (f[A](x) = 1 si x est
dans A, f[A](x) = 0 sinon). La f. c. de A_B est alors f[A] + f[B] mod 2.
Comme l'addition est associative dans Z/2Z, le resultat en découle.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

> On définit la différence symétrique comme ceci :
> A_B = (A-B) union (B-A)
> = (A union B) - (A inter B)
>
> Peut-on montrer (A_B)_C = A_(B_C) sans développer bêtement
> (A_B)_C et A_(B_C) avec pleins de calculs ?

Soit I_E l'indicatrice de E. Tu as:
I_((A_B)_C) =
I_(A_B)*(1-I_C)+I_C*(1-I_(A_B)) =
I_(A_B)+I_C-2*I_(A_B)*I_C =
(I_A+I_B-2*I_A*I_B)*(1-2*I_C)+I_C=.
I_A+I_B+I_C-2*(I_A*I_B+I_A*I_C+I_B*I_C), expression qui est symétrique, d'où
le résultat.

Bien sûr tu peux traiter le problème par disjonction des cas (ie en
réfléchissant) mais dès que ça deviendra légèrement plus dur la disjonction
des cas c'est trop complexe alors vaut mieux ramener le problème à du calcul
brut.

--
Julien Santini

[Sphinx]

La différence symétrique étant commutative,alors a_(b_c)=(a_b)_c=c_(b_a)
Tu n'as plus qu'à faire le développement et à montrer que a et c sont interchangeables.