Associativité de la différence symétrique

[Dinozzo13]

Bonsoir,

J'aimerais être guidé pour montrer, à l'aide de la fonction indicatrice d'Euler, que la différence symétrique est associative.

J'ai entendu dire que la différence symétrique est la somme des ensembles dans le corps . Et ça permet de conclure grâce à l'associativité de l'addition dans , mais je n'ai rien compris hors mis le fait que .

Je rappelle que l'indicatrice d'Euler est définie ainsi :
Soit .
telle que si ou si .

Certains proposent également d'établir un morphisme. Mais un morphisme entre quoi et quoi ? Et en quoi l'établissement d'un tel morphisme répondrait à la question ?

Merci d'avance :++:

[Skullkid]

Bonsoir, la première méthode, fastidieuse, est le calcul ensembliste direct en utilisant la définition de la différence symétrique. C'est en effet plus simple d'utiliser les indicatrices (mais ça n'a rien à voir avec l'indicatrice d'Euler qui est une fonction bien définie de dans lui-même). On peut montrer sans grande difficulté que et après c'est du calcul classique sur les fonctions indicatrices.

Pour quelque chose d'encore plus simple, tu peux remarquer que où est l'addition modulo 2. C'est sans doute ça qu'on a voulu te dire en parlant de , mais rends-toi bien compte que "la somme des ensembles dans ", ça ne veut rien dire a priori. Ce qui fait sens c'est la somme des indicatrices lorsqu'on munit leur ensemble d'arrivée de la structure .

[Dinozzo13]

:hum: Donc je fais comment pour démontrer l'associativité ?

[Blueberry]

Ben tu démontre par inclusion réciproque que (ça ne doit pas être insurmontable !)

[Maxmau]

Ben tu démontre par inclusion réciproque que (ça ne doit pas être insurmontable !)

Bj
En reprenant les idées de Skullkid, il suffit de montrer que les 2 membres ont même fonction indicatrice.