Difference symetrique des ensembles

[fifiabdo]

boujours,
Quelqu'un peut m'ecrire la demonstration de l'associativite de la loi de la difference symetrique?
merci d'avances

[fahr451]

on peut faire une preuve élémentaire pas si facile (distinguer plein de cas).
le plus simple est de passer par les fonctions caractéristiques
calculer : X(AUB) = X(A)+X(B) si disjointe, X(AinterB)= X(A)X(B)
puis X(A-B)= X(A)-X(A)X(B) puisX(AdeltaB)puis X((AdeltaB)deltaC)
et constater que l expression est symétrique en A,B,C

[yos]

Selon que x est dans A,B,C ou non, il y a 8 cas. On constate que dans quatre de ces cas exactement, . Ce sont les cas où x appartient à 1 ou à 3 de ces ensembles. Cette condition est symétrique en A,B,C, d'où le résultat.
Précisons ce dernier passage :
on obtient par la symétrie annoncée.
On conclut avec la commutativité de (qui est évidente).
Voilà comment commutativité entraîne associativité (souvent mais pas toujours).

[yos]

Merci pour votre aide à tous les deux. Ca m'a beaucoup aidé. Si si.