Arithmetique, fonction bijective

[krikoviak]

Bonjour,

Ca doit être assez évident mais je n'arrive pas à montrer que l'application est bijective. (c'est pour montrer que la fonction "nombre de diviseurs" est multiplicative).

Merci d'avance.

[Joker62]

Hello,

C'est quoi ? L'ensemble des diviseurs de n ?

[krikoviak]

Ah oui, désolé j'ai oublié de l'écrire, D(n) est bien l'ensemble des diviseurs de n.

[Joker62]

Ok donc si n = 4 et m = 6

On a n*m = 24

D(n) = {1,2,4}
D(m) = {1,2,3,6}

D(n*m) = {1,2,4,6,12,24}

Que penser de l'image de (2,6) et de (4,3) ?

Il ne manquerait pas une condition sur n et m ? Du genre premier entre-eux ?

[krikoviak]

Oui c'etait un peu implicite, puisque j'ai précisé que c'était pour montrer que la fonction est multiplicative, mais encore désolé j'ai bien oublié de préciser que m et n doivent être premiers entre eux. Décidément !

[Joker62]

Ok ok :)

Tu peux décomposer n et m en nombre premier et écrire un diviseur de n*m en utilisant le fait qu'ils sont premiers entre eux et ne possèdent donc aucun diviseur premier en commun.

[ffpower]

Autre methode: verifier que l'application z->(pgcd(z,m), pgcd(z,n)) est la reciproque de ton application

[krikoviak]

Merci à vous deux j'ai compris les deux méthodes. En fait je faisais à peu près ce que dit Joker62 mais j'avais du mal à formaliser. C'est bon maintenant.
Par contre je suis curieux ffpower comment as-tu trouvé l'application réciproque car elle ne me serait jamais venue à l'esprit...

[krikoviak]

On m'a suggéré une autre méthode pour montrer que est multiplicative, en utilisant directement l'expression exacte mais en fait je ne vois pas pourquoi lorque m et n sont premiers entre eux, on peut avoir

[Joker62]

Hello,

J'imagine que comme m et n sont premier entre eux alors on a forcément :

Soit v_p(n) = 0 soit v_p(m) = 0.
Ces deux valeurs ne sont jamais non nulles simultanément. (Vu que n et m n'ont pas les mêmes facteurs premier)

[deltab]

Bonsoir

Par contre je suis curieux ffpower comment as-tu trouvé l'application réciproque car elle ne me serait jamais venue à l'esprit...

@ffpower
L'application considérée est

,

l'application réciproque serait



et non qui est lui dans .

Je pense qu'on trouve ce résultat en étudiant la surjectivité.

[SUPERLIME]

J Ai 223,recule Jusqu Au Nombre Agité ,le Nombre Qui Décris Une Sphere