Arithmétique, existence d'un couple vérifiant...

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MoonX
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Arithmétique, existence d'un couple vérifiant...

par MoonX » 11 Jan 2017, 16:41

Bonjour,

Soient : deux entiers tels que
Soit tel que

Je cherche à prouver l'existence d'un couple appartenant à [0,m-1]x[0,n-1] tel que :

, et ;

Voici ce que j'ai fais :

m et n sont premiers entre eux, donc Bézout : nu + mv = 1
D'où :

nux + mvx = x
Par division euclidiennes : ux = km + a ; mv = ln + b
J'ai donc un couple a,b dans les bons intervalles, qui vérifie la relation de congruence, mais maintenant je ne sais pas comment faire pour montrer qu'ils vérifient les autres condition sur les PGCD (ou qu'il existe un autre couple les vérifiant )

Je vous remercie par avance !



jlb
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Re: Arithmétique, existence d'un couple vérifiant...

par jlb » 11 Jan 2017, 17:06

Salut,
soit d divisant a et m, alors d divise x d'après la relation et si d divise x et m alors d vaut ...
Et ensuite, tu procèdes de même pour pgcd(b,n)

MoonX
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Re: Arithmétique, existence d'un couple vérifiant...

par MoonX » 11 Jan 2017, 17:52

Merci pour ta réponse :

Si d | a et d|m, alors d | x,
Or, PGCD(x, mn) = 1, donc PGCD(x,m)=1, donc d = 1
Donc, si d divise a et m, alors nécessairement d =1, donc PGCD(a, b)=1... Est-ce comme ça que je dois conclure ?

jlb
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Re: Arithmétique, existence d'un couple vérifiant...

par jlb » 11 Jan 2017, 18:12

........ donc PGCD (a,m)=1 sinon cela a l'air bon

MoonX
Membre Naturel
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Re: Arithmétique, existence d'un couple vérifiant...

par MoonX » 11 Jan 2017, 18:41

oups, ou j'ai pas fais gaffe, merci beaucoup alors :)

 

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