Arctanz (holomorphie + description)

[aysora]

Bonjour,

Le sujet est le suivant

décrire la fonction z appartient à C --> arctan(z) en précisant domaine d'holomorphie.

après calcul avec les exponentielle et sinz et cosz je trouve arctan(z) =1/2i ln (i-z)/(i+z))

deux points critique (i et -i)
car e(2iw) = (iz+1)/(1-iz)
si z=i impossible
et pour ln en -i.

Que décrire de plus --> représentation graphique et pou le domaine???
C -(i &-i)? je ne crois pas!

Merci pour votre aide

[mathelot]

bonjour,

je prendrais



convergente dans D(O,1), disque centré à l'origine de rayon 1, que j'intégrerais.

[aysora]

Bonjour,

Cela ne donnera pas le domaine d'holomorphie.
L'intégration me donnera l'arctan mais je l'ai déjà défini précédemment à priori?
Merci

[mathelot]

arctan(z) =1/2i ln (i-z)/(i+z))

sinon, le log est défini sur il sufit d'ôter du plan les complexes w tels que

avec

[Robot]

On a le choix pour le domaine où définir une détermination de arctan(z) (comme on a le choix pour le domaine où définir une détermination du logarithme. On peut choisir un domaine contenant l'axe réel, si on veut.