Arc géométrique

[Ncdk]

Bonsoir,

Une nouvelle notion me pose problème, celle d'arc géométrique.

On appelle arc géométrique une classe d'équivalence.

Je trouve cette définition compliqué, honnêtement je ne comprend pas du tout ce que ça signifie

[alm]

Une classe d'équivalence de quelle relation ? relation sur quel ensemble.
A présent si on considère l'ensemble des arcs paramétrés de classe ( entier naturel tel que ), on peut définir une relation d'équivalence par s'il existe un difféomorphisme tel que . Il s'agit bien d'une relation d'équivalence et il est légitime de nommer arc géométrique une classe d'équivalence pour cette relation, mais essaye d''être plus explicite pour pouvoir t'en dire plus...

[Ncdk]

Une classe d'équivalence de quelle relation ? relation sur quel ensemble.
A présent si on considère l'ensemble des arcs paramétrés de classe ( entier naturel tel que ), on peut définir une relation d'équivalence par s'il existe un difféomorphisme tel que . Il s'agit bien d'une relation d'équivalence et il est légitime de nommer arc géométrique une classe d'équivalence pour cette relation, mais essaye d''être plus explicite pour pouvoir t'en dire plus...

Bonsoir,

Hum, tout d'abord ce n'est pas plutôt : ?
Ensuite, je viens de revoir le cours, en effet j'ai bien cette relation d'équivalence, mais ce qui me gène c'est exactement la phrase que tu as dit : "Il est légitime de nommer arc géométrique une classe d'équivalence pour cette relation".
J'arrive pas à comprendre, un arc géométrique c'est un ensemble d'arc paramétrés qui ont les conditions ci-dessus ?

[Ben314]

Hum, tout d'abord ce n'est pas plutôt : ?

Ca change évidement rien vu que l'on a exigé que g soit un difféomorphisme donc (et heureusement que ça change rien vu que sinon, ça serait pas une relation symétrique donc pas une relation d'équivalence !!!)


Sinon, effectivement, un "arc géométrique" c'est une classe modulo cette relation c'est à dire un ensemble de courbes paramétrées.
Exactement comme un nombre rationnel est un ensemble de trucs de la forme a/b, comme un élément de Z/nZ est un ensemble d'entiers relatifs, etc etc etc : le fait de définir des objet par passage au quotient est on ne peut plus fréquent en mathématique.

Sinon, concernant ce cas là, on peut éventuellement comprendre le truc en disant que ce qui nous intéresse, c'est principalement le support de l'arc paramétré (i.e. le "dessin" qu'il fait) et pas la paramétrisation en elle même donc au fond, on veut identifier deux arc paramétrés qui ont le même support (donc qui représentent le même dessin). On pourrait évidement prendre ça comme définition, c'est à dire définir la relation ssi et ont même support et quotienter par cette relation d'équivalence, mais ça ne serait pas pratique du tout pour les calculs vu qu'on ne sait pas bien décrire (calculatoirement parlant) les liens qu'il y a entre deux courbes paramétrées de même support.

Donc on "limite la casse" en ne prenant comme relation celle sus mentionnée qui implique évidement que les arcs ont même support mais qui est plus contraignante et qui permet de faire bien plus facilement des calculs.

[Robot]

Hum, tout d'abord ce n'est pas plutôt : ?

C'est exactement pareil ! (rappel : est un difféo).

[Ncdk]

D'accord, merci bien en tout cas
Tiens, d'ailleurs, je me suis posé une question, pourquoi on appelle ça le support et pas plutôt l'image ? Parce-que l'image d'un arc paramétré c'est pas l'image dans le sens où on l'emploi habituellement ? Ou c'est seulement pour distinguer de quoi on parle ?

@Robot : Ah oui, merci !

[Ben314]

Je sais pas : a mon avis, ça doit être lié à des raisons historiques ou un truc du style vu que le "support" d'un arc paramétré, c'est effectivement exactement la même chose que son "image" au sens classique des application.

Attention par contre à ne pas confondre avec la notion de "graphe" d'une application.

[Ncdk]

Ah ok
Merci

[alm]

Attention quand même , tel que est défini ci-dessus c'est
Les réponses d'après te disent ce qui suit:
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) Il existe difféomorphisme de vers tel que
(2) Il existe difféomorphisme de vers tel que

Ils ne te disent pas que si pour un difféomorphisme de vers alors

Pour essayer de comprendre le mot géométrique, on peut voir un arc paramétré comme un mouvement: Si deux mouvements sont équivalents on les confond.
Exemple , et ,
On a deux mouvements qui ont la même trajectoire mais qui ne se passent pas de la même façon:
Le premier : une seule allée de vers
Le second: allée et retour de vers le même point;
Les deux mouvements ne sont pas équivalents.
Essaye de démontrer rigoureusement que ces deux arcs ne sont pas équivalents.