Arc géométrique et longueur d'arc

[Ncdk]

Bonjour,

Je dois montrer que tout arc géométrique A régulier et C^1 admet un paramétrage par longueur d'arc.

Soit un paramétrage régulier de et soit .
On pose .

On sait que pour tout , . La fonction est et sa dérivée est strictement positive.
Il s'agit donc d'un -difféomorphisme de sur où

Soit sa fonction réciproque qui est et qui va de dans .

On pose et on doit montrer que

Du coup

Je suis bloqué ici en fait, je sais pas comment exprimer en fonction de t.

[Ben314]

Salut,

Je suis bloqué ici en fait, je sais pas comment exprimer en fonction de t.

(bijection réciproque) donc

Si tu ne connait pas la formule, il suffit de dériver l'égalité (valable sur l'intervalle ) pour la retrouver.

[Ncdk]

Ah oui ! C'est

C'est vrai que c'est dans mes souvenirs lointain, je l'ai quasiment jamais utilisé

EDIT : Pour compléter, on a que et en passant à la norme on a bien