Approximations de Pi, méthode d'Archimède.

[Mobster]

Bonjoir
Petit DM à rendre sous peu, sur l'approximation de Pi.

Soit C un cercle de rayon 1. On construit, pour n>=1, deux polygones réguliers Pn et Qn ayant 3x2^n cotés, Pn étant inscrit dans C et Qn circonscrit à C. On admettra que le périmètre du cercle (égal à 2Pi) est encadré par ceux des polygones. Dans la suite, on note pn et qn les demi-périmètres respectifs de Pn et Qn.

1/ Montrer qu'on a p1 = 3 et q1 = 2V3 (V est la racine carrée, désolé, j'ai oublié le LaTeX -_-).
-> Réponse trouvée.
2/a/Evaluer, en fonction de n, l'angle au centre qui intercepte l'un des cotés de Pn ou de Qn.
-> Trouvé, j'ai Alpha (l'angle) = 2Pi/(3x2^n).
b/ En déduire les relations :
pn = (3x2^n)*sin(Pi/(3*2^n)) et qn = (3x2^n)*tan(Pï/(3*2^n)).
-> Trouvé.
3/ On pose Alpha = Pi/(3x2^(n+1)).
Exprimer pn et qn en fonction de n et Alpha.
->Trouvé : pn = (3*2^n)*sin(Alpha/2) et qn = (3*2^n)*tan(Alpha/2).
Montrer qu'on a, pour n>=1 :
1/(q(n+1)) = (1/2)((1/pn)+(1/qn)).
p(n+1) = V(pn*q(n+1)).
-> Là, je bloque :/ un peu d'aide serait la bienvenue.
4/a/ Soient a et b deux réels vérifiant 0 Trouvé.[/B]
[I]b/ Montrer par récurrence qu'on a pn Là aussi je bloque : la récurrence avec la trigo.. C'est pas du tout mon domaine :/.[/B]
[I]c/ En déduire que la suite (pn) (resp : (qn)) est croissante (resp : décroissante).
-> Pas encore cherché mais je pense que ça va le faire
d/ Montrer qu'on a, pour tout n >=1 : q(n+1)-p(n+1) Là je vois pas trop comment faire :/ Un indice : les suites adjacentes peut-être ?[/B]
[I]5/ A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de Pi d'amplitude 10^(-10).
-> Je vois pas trop comment faire avec ma calculatrice.
Je rentre les deux suites dans un tableau et je regarde les valeurs à dix décimales près ?


Merci d'avoir lu jusque là, j'ai mis les résultats que j'ai trouvé au fur et à mesure, si ça peut vous empêcher de tout refaire :p
Merci d'avance.
Bonne fin de journée !

[Mobster]

Personne pour m'aider, amis matheux ? :(

[Sa Majesté]

[/B][I]Montrer qu'on a, pour n>=1 :
1/(q(n+1)) = (1/2)((1/pn)+(1/qn)).

q(n+1) = 3.2^(n+1) tan(alpha/4)

Maintenant calcule 1/pn + 1/qn, réduis au même déno et utilise des formules de trigo

[Mobster]

Sa Majesté, toujours présente :p
Merci, j'essaye ça tout de suite !

[Mobster]

Par contre je vois pas pourquoi q(n+1) = 3.2^(n+1) tan(alpha/4) :/

[Mobster]

Fuuu, dès que y'a de la trigo je bloque complétement et mes oreilles chauffent vainement...

Je comprends vraiment pas et après avoir mis le même dénominateur, je vois pas vraiment ou aller :triste:

[Sa Majesté]

Par contre je vois pas pourquoi q(n+1) = 3.2^(n+1) tan(alpha/4) :/

A cause du (n+1) qui transforme alpha/2 en alpha/4
En fait alpha c'est trompeur, il faudrait plutôt écrire alpha_n

[Sa Majesté]

Fuuu, dès que y'a de la trigo je bloque complétement et mes oreilles chauffent vainement...

Je comprends vraiment pas et après avoir mis le même dénominateur, je vois pas vraiment ou aller :triste:

Il faut tout mettre sous le déno sin(alpha/2)

[Mobster]

Ah oui en effet, le n+1 devient n+2.
Sauf que je trouve toujours pas..
Je vais passer à autre chose et y revenir plus tard en espérant trouver avant demain.
Sinon, n'as tu pas de pistes concernant les autres questions ?

[Sa Majesté]

p(n+1) = V(pn*q(n+1))

Pareil
Tu calcules pn*q(n+1)
Comme tu veux trouver p(n+1) il faut avoir du alpha/4
donc il faut laisser le tan(alpha/4) qui vient de q(n+1)
et modifier le sin(alpha/2) qui vient de pn en faisant intervenir du alpha/4 grâce à une formule trigo

[carolyin]

Bonjour, je ne comprends pas pourquoi pn = (3*2^n)*sin(Alpha/2) et qn = (3*2^n)*tan(Alpha/2).
Je trouve, au contraire que pn = (3*2^n)*sin(2*Alpha) et qn = (3*2^n)*tan(2*Alpha).

Est ce que quelqu'un pourrait m'éclaircir s'il vous plait, car je suis vraiment perdue.
Merci beaucoup et bonne soirée

[carolyin]

pas de réponses?
Je sèche vraiment...