Approximations Successives

[nemesis]

bonjour

quelle est le cheminement pour demontrer la convergence de la suite construite lors de l'utilisation de la methode des approximations successives ?

merci

[fahr451]

bonjour

précise donc la méthode et les hypothèses précises retenues

[nemesis]

c'est en analyse numerique ,c'est chercher le point x tel que f(x) =0 ,et ca revient au meme d'utiliser g(x)=x - f(x) puis de rechercher tel que g( )= (point fixe )
alors on construit une suite mais la suite ( ne converge pas toujours ,et les conditions de convergences sont :

1_g admet un point fixe
2_g est lipschitzienne

je crois que c'est tout
alors la suite converge

et c'est sur les conditions qu'est ma question

[fahr451]

1 et 2 ne sont pas des hypothèses suffisantes


2' g est contractante (k lipschitzienne avec k<1) suffit à assûrer existence unicité du point fixe et convergence de la suite vers ce point fixe

[nemesis]

c'est ce que je voulais dire ,en fait

mais comment avoir la demonstration?

merci encore

[fahr451]

on montre que la suite u(n) converge

en montrant que la série u(n+1) -u(n) converge absolument

l u(n+1) -u(n) l =< k l u(n) -u(n-1) l =< ...< k ^(n) l u(1)-u(0) l

or 0
par continuité de g a est point fixe et si b est un point fixe de g

l b-al =l g(b)-g(a) l=< k lb-al donne b = a et unicité du point fixe

c'est le théorème du point fixe dans R qui est complet il en existe bcp de variantes ( espaces compacts par exemple)

[nemesis]

ok merci ,

[yos]

Bonjour.
On doit pouvoir éviter la série en utilisant pour en déduire par récurrence (a est le point fixe de g).

[fahr451]

oui mais il n 'y a pas besoin d'hypothèse d'existencede point fixe dans la preuve
si on rajoute l'existence a priori en effet la série et la complétude sont inutiles

c'est un théorème d'existence de point fixe en fait plutôt que de convergence d'une suite.

[nemesis]

je tente un nouveau truc

pour l'existence du point fixe :
soit g une fonction continue et stable sur [a,b] et posons f(x)= x-g(x) f est continue si g(a)=a ou g(b)=b alors c'est bon sinon on a f(a)=a - g(a) <0 car a 0 car a<=g(b)
pour l'unicite :
avec g contractante on a |g(x)-g(y)|<= k |x-y| ...(*) avec k<1
supposons qu'on a deux point fixe a et a'
alors a=g(a) et a'=g(a')
d'apres (*) on a |g(a)-g(a')|<= k |a-a'|
or |g(a)-g(a')|=|a-a'|
donc |a-a'|<= k |a-a'| et alors |a-a'| (1- k) <= 0 et puisque k<1
|a-a'|=0 donc a=a' donc unicite du point fixe

pour la convergence ,je vais y'arriver ,doucement mais surrement
toute suggestion serait la bienvenue
merci

[nemesis]

pour la convergence je crois que c'est bon :

on a
or :
donc :
donc
d'ou donc la suite converge vers le point fixe que ce que vous en dites ?

[nemesis]

alors ,c'est bon ou pas ?

[fahr451]

alors ,c'est bon ou pas ?

entre 20H10 et 21H23 régulièrement je vais pisser ( scuzez pour la trivialité (dans l'acception non mathématique du terme) ) et compte tenu de mon grand age cette opération prend un temps certain ;aussi il ne faudrait pas manifester d'impatience intempestive

[fahr451]

ceci dit cela revient exactement à ce que proposait yos

1)stabilité de [a,b] par g (et non l 'inverse) -> existence d'un point fixe
2) g contractante -> convergence de la suite
encore une fois 1) est inutile mais simplifie la preuve

[nemesis]

desolé mais je dois savoir si je continue ou pas
scouzi moi

[nemesis]

merci a toi
fahreneit 451

[yos]

Fahr, je reviens sur ta méthode : est-ce bien dans la nature des choses d'utiliser une série? Si les étaient des points d'un espace métrique, que nous apporterait ?

[fahr451]

qu'on utilise une série ou pas c'est bien le caractère complet de R qui sert

montrer que u est de cauchy (sans série...)

d(u(n+p) ,u(n) ) =< d(u(n+p) ,u(n+p-1) ) + ...+d(u(n+1) ,u(n))

[yos]

Oui d'accord : c'est l'existence d'un point fixe qui nécessite cela.
D'ailleurs le cas ou g laisse stable [a,b] est super particulier, même si on est dans R.
Le bon point de vue semble de prouver que la suite converge, et le fait que la limite est un point fixe est un sous-produit.