[MPSI] application thm de Cesaro

[pouik]

Bonjour,
Je bloque sur cet exrcice ou je ne suis pas sûr de mes réponses. Pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance.
" Soit la suite récurrente :
(
(
De plus, on a d'après le Lemme de l'escalier :
On suppose qu'il existe un réel tel que la suite de terme général converge vers une limite finie non nulle , alors au voisinage de l'infini on a : .
----------------------
¤¤ Montrer rapidement que converge vers .
-> J'ai essayé de montrer la monotonie de la suite, mais sans succès, puis de montrer qu'elle était minorée ou majorée (suivant qu'elle est décroissante ou croissante respectivement), pour pouvoir en déduire qu'elle converge. Mais je n'y arrive pas !!

¤¤ Montrer que pour tout réel , on a : .
-> Je pense qu'il faut utiliser le résultat du Lemme de l'escalier mais je vois pas comment en fait !!

¤¤ En déduire, en choisissant convenablement, un équivalent de .
-> Je prends .
Donc on a :
donc :
donc :
Mais je suis pas totalement sûr de moi !!! :marteau:

[yos]

¤¤ Montrer rapidement que converge vers .

La suite est décroissante et minorée (par 0) donc elle converge. Sa limite L vérifie L=f(L)=, donc L=0.

Pour la 2ème question, c'est un simple calcul.
Le lemme de l'escalier (d'où sort ce nom?) ne s'utilise qu'à la question 3.

[maturin]

1)
alors tu montres que un>0 par récurrence
après tu montres que un²+1>1 (là t'as aps besoin de la récurrence)
t'en déduis la monotonie de ta suite.
t'as donc ta suite monotone et ta borne y a plus qu'à conclure

[pouik]

oui mais quel calcul pour la 2 ???

et sinon est-ce que la 3 est correcte ???

Merci d'avance.

[maturin]

pour le 2 tu dis que 1/(1+x)^a=1-ax+o(x²) pour x->0

[maturin]

et pour le 3) ça peut pas être correct vu qu'on a dit que un>0 ça peut pas être équivalent à un truc négatif, un peu de bon sens quoi :)

[pouik]

désolé mais je ne comprends pas bien comment à partir de ceci je vais pouvoir déduire ce qui m'interesse.

[maturin]

tu remplaces mon x par un²
quand un²->0 (c'est à dire quand n->+inf)

[pouik]

okay merci j'ai compris. :id:

Par contre est-ce que ce que je propose pour la troisième question est correct ?

[pouik]

pouvez vous me dire si la reponse que je propose pour la question 3 est correcte ??? merci d'avance.

[kazeriahm]

non il faut choisir a=-2 de manière à ce que (Un+1)^a-Un^a converge vers une limite non nulle (comme tu la dis toi meme) puis tu appliques tes théorèmes

[pouik]

on a donc :
????

[kazeriahm]

si les calculs que tu montre dans lénoncé sont justes, on a Un^-2 qui equivaut a 2n donc Un equivaut a 1/racine(2*n)

[pouik]

okay bon bah merci infiniment pour votre aide.

Et Bonne soirée.