Application non injective

[euler21]

Bonjour.
On se donne une application f continue sur un intervalle ]a,b[ et telle qu'elle admet un même limite l aux extrémités a et b. Dans le cas où a,b et l sont réels, on peut déduire facilement que f est nécessairement non injective. (par passage au prolongement par continuité et application du TVI). Je demande si ce résultat de non injectivité reste valable dans le cas où a,b et l ne sont pas nécessairement réels.
Merci pour votre aide.

[mathelot]

[Ben314]

Salut,
Dans le cas où f est réelle, comme tout les intervalle ouvert (non vide, borné ou pas) sont homéomorphes, le fait que a,b et l soit finis ou non ne change pas le résultat.
Par exemple, si f:R->R tend vers oo en +oo et -oo, il suffit de considérer
g:]-pi/2,pi/2[->]-pi/2,pi/2[ définie par g(t)=arctan(f(tan(t))) qui, elle, tend vers pi/2 en +pi/2 et -pi/2.

[euler21]

Mille excuses. J'ai oublié de mentionner que l'application était réelle.

[Nightmare]

Salut,

qu'entends-tu par "l'application est réelle" ? Elle est à valeur dans R ? L'espace de départ est C?

[Ben314]

En ce qui me concerne, le "f est réelle" signifiat :
"f définie sur un intervalle ouvert de R (déjà précisé dans l'énoncé) et elle est à valeur dans R"

[Nightmare]

Salut Ben,

dans ce cas, que signifie "a,b et l ne sont pas nécessairement réels." ?

[Ben314]

J'interprétait ça comme le fait que a,b et/ou l pouvaient valoir +oo ou -oo.
(d'où ma réponse)

[euler21]

oui oui c'est exactement ce qu'a dit Ben. Désolé pour le retard