Application injective
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maxl135
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par maxl135 » 28 Oct 2009, 21:14
Bonjour,
j'ai un soucis pour répondre aux deux dernières questions de mon exercice :
1) Soient f une application d'un ensemble E vers un ensemble F. Montrer l'équivalence des assertions suivantes :
- Pour tout A et B étant des sous-ensembles de E, f(A ;) B) = f(A) ;) f(B)
- f est injective
2) Soient A, B, C, D des ensembles, f : A dans B, g : B dans C et h : C dans D des applications. On suppose que g o f et h o g bijectives. Montrer que f, g et h sont bijectives.
Pour la question 1 mon problème principal est de démontrer que f(A ;) B) = f(A) ;) f(B) implique f injective.
Pour la question 2 j'ai une petite idée.
g o f bijective donc g surjective, f injective et card A = card C
h o g bijective donc h surjective, g injective donc g bijective et card B = card D
Or g bijective donc card B = card C. D'où card A = card B = card C = card D
Donc f, g et h sont bijectives. Voilà globalement ma démonstration pour la question 2.
Merci pour votre aide.
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girdav
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par girdav » 28 Oct 2009, 21:37
Salut.
Pour la 1 montre que si
alors
.
Pour la deux tu peut déduire ce qu'il faut une fois que tu as montré que
est bijective en sachant que la composée de deux bijections est une bijection.
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Mathusalem
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par Mathusalem » 28 Oct 2009, 21:52
Salut
Une piste de plus pour la 1). En général, il suffit d'écrire les choses en algèbre linéaire pour se rendre compte de la solution
Mais suppose que f(A
B) = f(A)
f(B) vrai pour A,B dans E. Alors en particulier, prend a,b éléments de E. Tu auras alors f(a
b) = f(a)
f(b). Si a
b, alors qu'est-ce que tu déduis sur les intersections ?
A+
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Zavonen
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par Zavonen » 28 Oct 2009, 21:53
Pour la question 1 mon problème principal est de démontrer que f(A
B) = f(A)
f(B) implique f injective.
Applique la propriété en prenant pour A et B des singletons.
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maxl135
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par maxl135 » 29 Oct 2009, 17:25
Si g o f est bijective et si g est bijective alors peut-on dire que f est bijective ?
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girdav
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par girdav » 29 Oct 2009, 20:04
Oui, en composant à gauche par
qui est bijective.
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