Ben le critère il est écrit en noir sur blanc dans le théorème : pour être sûr que ça marche, il faut que la fonction
soit
contractante et, pour une gentille fonction dérivable
, le théorème des accroissement finis te que
est contractante ssi sa dérivée reste entre -1 et 1 (strictement).
Là, avec
, l'équation
est évidement équivalente à
pour n'importe quelle constante non nulle
donc on peut tenter
qui donne
.
Sauf que, sur ton intervalle
,
varie de
à
donc change de signe et, quelque soit la valeur de
choisie, on arrivera pas à avoir
qui reste <1 tout le temps.
Donc soit on cherche un autre type de fonction
(mais j'ai la flemme vu l'intérêt du bidule...), soit on "triche" un peu en traçant la courbe de
(ou en faisant juste le tableau de variation), pour constater qu'en fait
s'annule entre
et
et donc qu'on peut se restreindre à cet intervalle là.
Et comme sur
,
varie de
à
pour que
reste entre -1 et 1, il suffit de prendre
donc par exemple
, c'est à dire
.