Application de la méthode du point fixe

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Madina
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Application de la méthode du point fixe

par Madina » 07 Avr 2018, 12:26

Bonjour,
J'ai besoin d'appliquer la méthode du point fixe sur la fonction suivante :

f(x)=(0.5*x)-sin(x)+(pi/6)-(sqrt(3)/2)
Définie sur l'intervalle [-pi/2 pi]
Avec sqrt = racine carrée
Quelle est la fonction g(x) déduite de f(x) ??

Merci d'avance.



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Ben314
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Re: Application de la méthode du point fixe

par Ben314 » 07 Avr 2018, 12:41

Salut,
Des trucs qui s’appellent plus ou moins "méthode du point fixe", au bas mot, je pense que je doit en connaître une bonne douzaine.
Par contre, elle disent toutes à la fin que "blabla... donc il existe un point fixe" et à froid, je vois pas le rapport avec une quelconque fonction "g déduite de f".

Bref, si tu veut une réponse, clarifie ton truc (i.e. donne la définition de ce que tu entend par "g est déduite de f")

P.S. Et g(x) et f(x), c'est pas des fonctions, c'est des réels (dépendant de x). Les fonction c'est f et g.
Et si tu fait pas la différence entre un grille pain (= fonction) et du pain grillé (= image de "pain frais" par la fonction "grille pain"), ça va rapidement te jouer de salle tours.
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Madina
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Re: Application de la méthode du point fixe

par Madina » 07 Avr 2018, 13:07

Bonjour merci de votre réponse qui me fait marrer de rire...
Effectivement je ne suis pas une matheuse alors à la base j'enseigne matlab (et même là je suis novice) et d'habitude pour appliquer le programme de la méthode du point fixe on doit définir g. de tel sorte que g(x)=x.
sauf que pour l'exemple cité ci-dessus cela ne marche pas :
g = 2*(sin(x)-(pi/6)+(sqrt(3)/2))=x
cela me donne une solution erronée...
je crois que c'est l'explication la plus détaillée que je puisse donner.
merci à vous :)

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Re: Application de la méthode du point fixe

par Ben314 » 07 Avr 2018, 16:17

Bon, ben c'est toujours pas clair le bidule....

Ce que j'ai l'impression de comprendre, c'est que tu veut résoudre numériquement une équation de la forme en utilisant un des "théorème du point fixe" qui risque éventuellement d'être celui là :

Si une fonction est contratante (*) alors elle admet un unique point fixe (c.a.d. tel que ) et, quelque soit le réel fixé, la suite définie par pour tout converge vers le point fixe (ce qui permet d'approximer )

Si c'est bien ça le problème, alors il faut que tu trouve une fonction telle que l'équation soit équivalente à l'équation mais aussi telle que soit contractante, sinon, ça risque pas de marcher.

Par exemple, si alors effectivement l'équation est équivalente à , sauf que la fonction définie par n'est pas du tout contractante (sa dérivée varie de -2 à 2) , donc ça n'a rien de surprenant que "ça ne marche pas" !!!

(*) C'est à dire telle que pour tout de
Modifié en dernier par Ben314 le 15 Déc 2018, 18:12, modifié 1 fois.
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Re: Application de la méthode du point fixe

par Madina » 07 Avr 2018, 18:47

Vous avez très bien compris le problème.
Vous m'avez également expliqué pourquoi cela ne marchait pas...
Mais je n'arrive toujours pas à trouver la solution :(
Selon ce que j'ai compris, c'est la fonction g qui doit être modifiée mais selon quel critère??
Merci d'avance pour votre aide et vos explications...

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Re: Application de la méthode du point fixe

par Ben314 » 07 Avr 2018, 20:12

Ben le critère il est écrit en noir sur blanc dans le théorème : pour être sûr que ça marche, il faut que la fonction soit contractante et, pour une gentille fonction dérivable , le théorème des accroissement finis te que est contractante ssi sa dérivée reste entre -1 et 1 (strictement).

Là, avec , l'équation est évidement équivalente à pour n'importe quelle constante non nulle donc on peut tenter qui donne .
Sauf que, sur ton intervalle , varie de à donc change de signe et, quelque soit la valeur de choisie, on arrivera pas à avoir qui reste <1 tout le temps.
Donc soit on cherche un autre type de fonction (mais j'ai la flemme vu l'intérêt du bidule...), soit on "triche" un peu en traçant la courbe de (ou en faisant juste le tableau de variation), pour constater qu'en fait s'annule entre et et donc qu'on peut se restreindre à cet intervalle là.
Et comme sur , varie de à pour que reste entre -1 et 1, il suffit de prendre donc par exemple , c'est à dire .
Modifié en dernier par Ben314 le 07 Avr 2018, 23:16, modifié 1 fois.
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Re: Application de la méthode du point fixe

par Madina » 07 Avr 2018, 21:55

Waaaw vous avez réussi à me résoudre un problème auquel je n'ai même pas été capable d'expliquer l'énoncé :)
Mon programme marche à merveille.
Demain je pourrai même expliquer des math à mes étudiants.
Mille merci à vous...
Je me sens débile mais heureuse...
Au plaisir :)

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Re: Application de la méthode du point fixe

par mathelot » 07 Avr 2018, 22:43

ne faut il pas prendre comme définition de contractante pour le point fixe
avec

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Re: Application de la méthode du point fixe

par Ben314 » 07 Avr 2018, 23:26

mathelot a écrit:ne faut il pas prendre comme définition de contractante
avec
Ca dépend : rien que pour les bêtes fonction de R->R, il y déjà plein de variantes dont les deux (à mon avis) les plus connues sont :
1) Si f:I->I (avec I intervalle quelconque éventuellement non borné) et qu'il existe k dans [0,1[ tel que, pour tout x,x' de I on a alors f a un unique point fixe sur I et, quelque soit U0 choisi dans I, la suite définie par U(n+1)=f(Un) converge vers le point fixe (se montre grâce à la complétude de R)
2) Si f:[a,b]->[a,b] (intervalle fermé borné) et que, pour tout xx' de I on ait (avec inégalité stricte) alors on a les mêmes conclusions (se montre grâce à la compacité de [a,b])

Et en dimension plus grande (y compris infinie), les deux continuent à marcher, toujours avec des hypothèses différentes : la complétude d'un coté et la compacité de l'autre.

(sans parler bien sûr de tout les autres "théorèmes du point fixes" comme celui de Brouwer de nature très différente : des hypothèses beaucoup beaucoup plus faible mais pas d'algo. pour approcher le point fixe)
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