Point Fixe / Methode Newton

[Phoenix944]

Bonjour,

J'ai un exercice que j'ai fait partiellement et où j'aimerais avoir vos conseils pour avancer :

Enoncé :

Soit f(x)=. On se propose d'étudier les méthoeds numériques permettant de calculer de façon approchée les racines réelles de f.

1 ) Etudiez la fonction f.
>>> J'ai fais un tableau de variation, je ne saurais vous le faire partager sur ce forum mais en gros :
f'(x) = . La fonction dérivée s'annule en 3 points -4 + 4ln(4), 0 et 4 - 4ln(4).

En déduire qu'elle possède 4 racines distinctes et donnez 4 intervalles disjoints contenant chacun une unique racine.
>>> Ici je suppose qu'on doit utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, on trouve bien 4 racines.

Montrez en particulier que f possède une unique racine, notée
>>> Là je ne vois pas ce qu'il faut faire.

2) Soit .On considère la méthode du point fixe :


Etudiez la convergence de la méthode. Montrez qu'elle converge vers alpha et donnez son ordre de convergence.
>>> Je ne vois pas trop comment montrer la convergence (majorée + croissante ?) et encore moins trouver l'ordre de convergence. Je sais que cette méthode est censé converger vers le zéro de f.

3) Ecrire la méthode de Newton pour la reherche de zéro de f.
>>> J'ai fais :



Mais je ne suis pas sûr de comment choisir le

4) Dire entre ces deux méthodes laquelle sera la plus efficace.
>>> Il faut certainement trouver les ordres de convergences des 2 méthodes et les comparer, mais là encore ... je n'ai pas réussi à trouver les ordres pour chacune des méthodes.

Voilà si vous avez des suggestions je suis preneur !

Merci d'avance.

[Luc]

Bonjour Phoenix944,

Pour 1), ce que tu as fait est correct mais il est possible d'aller plus vite en remarquant que , où .
Cela permet d'étudier au lieu de , ce qui est plus simple.
a deux racines réelles >0, donc a 4 racines réelles, dont 2 sont >0. On montre effectivement leur existence par le TVI. L'unicité vient de la monotonie de (qui implique l'injectivité) entre les zéros de sa dérivée.

Montrez en particulier que possède une unique racine, notée
>>> Là je ne vois pas ce qu'il faut faire.

Je suppose qu'il faut lire : possède une unique racine dans l'intervalle , notée .
L'existence vient du fait que change de signe entre les bornes de l'intervalle, donc par le TVI elle s'annule. Or elle est monotone, donc injective, donc il y a unicité de la racine.

Pour 2), il faut essayer de faire le lien entre et . Je te conseille de faire un dessin. est un point fixe de (d'où le nom de la méthode!). Il faut donc utiliser le fait que l'intervalle est stable par , ainsi que l'intervalle .
L'idée est que si , ce qui implique (il faut le prouver) (pareil de l'autre côté).

Tu peux conclure sur la convergence de avec croissance + majoration (ou décroissance +minoration suivant la position initiale de par rapport à

Pour l'ordre de convergence, il faut utiliser la définition de la dérivée de en . On voit que l'ordre de convergence est 1, la convergence est linéraire.

Pour 3) et la méthode de Newton, il faut prendre pas trop loin de pour que ça converge (mais c'est difficile à quantifier). Il faut justifier que la dérivée de f ne s'annule pas. La question de l'ordre de convergence n'est pas immédiate, mais le principe est le même que pour la méthode du point fixe (intervalles stables), sauf que tu ne considèreras pas la même fonction. Normalement tu devrais trouver une convergence d'ordre 2 (quadratique), donc plus rapide.

[Phoenix944]

Bonjour,

Désolé de la réponse tardive.

Déjà merci pour ta réponse complète et claire.
Pour la deuxième question j'ai fais :
implique (on applique qui est croissante sur ]0;1[) et donc peut on dire que ? Je suis peut être allé trop vite...

[Luc]

Bonjour,

Désolé de la réponse tardive.

Déjà merci pour ta réponse complète et claire.
Pour la deuxième question j'ai fais :
implique (on applique qui est croissante sur ]0;1[)

Oui

et donc peut on dire que ?

Il reste à montrer

Bon courage

[Phoenix944]

Ok, j'ai donc fais par récurrence pour montrer que , puis :

Comme , est décroissante et majorée, on peut pas conclure sur une convergence là non ?

[Luc]

Petite coquille, il fallait montrer . Je pense donc qu'il y a une erreur avec ta démo puisque le résultat est faux =). Mais tu as la méthode.

[Phoenix944]

Okay d'accord je vois mieux. Et donc ça, ça montre la convergence sur l'intervalle . Et l'inverse est de montrer que : , l'intervalle étant .
Donc la suite est croissante sur la première partie de l'intervalle et décroissante sur l'autre.

J'ai tout bon ? :p