Application linéaire et matrice

[LanzenFlamme]

Bonjour désolé pour la qualité de l'image. Est-ce quelqu'un pourrait m'expliquer l'exercice 1 bonne journée

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Sans doute, si tu fais l'effort de recopier l'énoncé de façon claire.

[LanzenFlamme]

Exercice 1 :

On considère l’application linéaire f : R² -> R² dont la matrice exprimée dans la base canonique est :

M=((3, -6),(1, -2))

1. Montrer que f une projection vectorielle.

Notons que F et G sont des s.e.v. tels que f soit la projection sur F parallèlement à G.
2. Déterminer une base Bf de G puis en déduire la dimension de F
3. Déterminer une base Bg de F

Notons B = {Bf , Bg} la famille constituée par la réunion des vecteurs de Bf et de Bg.
4. Montrer que B est une base de R².
5. Déterminer P la matrice de passage de la base canonique vers la base B puis en déduire l’expression de la matrice de f dans la base B

Je ne peux pas mieux faire pour le recopier l'Editeur d'équation ne fonctionne pas.

[Ben314]

Salut,
Bon, ben faut attaquer par le début :
- C'est quoi la définition d'une "projection vectorielle" ?
- Est-ce que tu connait un moyen rapide pour savoir si une matrice est ou n'est pas celle d'une projection ?

[LanzenFlamme]

Ca oui je crois que si M²=M c'est une projection vectorielle ou si c'est une matrice 2x2 y'a une autre méthode dont je ne souviens plus, après c'ets plutôt le deuxième partie de l'exercice que j'ai du mal à saisir.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
As-tu trouvé Bf et Bg ?

[koomath]

UNIVERSITÉ DE PERPIGNAN
L1 - Algèbre Linéaire 2
CONTRÔLE TERMINAL
durée (i) thai 2022
Aucun document ( semestre pour les tiers temps) autorisé
On considère l'application linéaire Exercice 1
dont la matrice exprimée dans la base canonique est:

1. Montrer que est une projection vectorielle.
Notons et les sous-espaces vectoriels tels que soit la projection sur parallèlement à .
2. Déterminer une base de , puis en déduire la dimension de .
3. Déterminer une base de .
Notons la famille constituée par la réunion des vecteurs de et de .
4. Montrer que est une base de .
5. Déterminer , la matrice de passage de la base canonique vers la base , puis en déduire l'expression de la matrice de dans la base .
Exercice 2
Soit le sous-espace vectoriel des suites réelles convergentes, le sous-ensemble des suites constantes et celui des suites convergeant vers 0, et l'application définie par :

1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
2. Montrer que est une application linéaire.
3. Déduire de la question précédente que est un sous-espace vectoriel de .
4. (a) Montrer que et sont en somme directe

[koomath]

Exercice 3
Soit , l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus , et l'application définie par :

1. Vérifier que est un endomorphisme de .
2. Déterminer l'image par de la base canonique de .
3. L'endomorphisme est-il injectif ? Est-il surjectif ? Justifiez vos réponses.
4. Déterminer et donner sa dimension. Donner une base de .

Exercice 4
Soit et deux -espaces vectoriels, et . Montrer que si est bijective, alors .